自旋角动量与轨道角动量的物理意义？

自旋是最难从物理上理解的物理量之一。简单说，自旋是质量不为0的粒子的固有旋转自由度，其角动量大小是固定的，但取向可以改变。这种自由度之所以被称为“自旋”，主要因为它和我们熟悉的轨道旋转（对应轨道角动量）太像了，当然这种像并不是形象上的相似，而是在量子力学的体系中有着类似的数学结构。

先提个醒，在下面的公式里，https://www.zhihu.com/equation?tex=/hbar=1

在量子力学中，角动量被定义为空间旋转变换的生成元，换句话说，当体系沿转轴https://www.zhihu.com/equation?tex=/theta=2/pi,,粒子转一圈但量子态并没有回去，只有转两圈，，量子态才完全恢复原状。这是一个十分有趣的现象，牵涉到量子力学的一个根本性质：Hilbert空间是一个射影空间，Hilbert空间对对称群的表示也是射影表示。这个性质与量子力学中许多神奇现象有着千丝万缕的性质，譬如全同粒子的不可分辨性，譬如任意子和分数量子霍尔效应。故事太长，这里就不展开了。

而在历史上来说，自旋角动量的定义也首先启发于对其性质的要求：先是泡利看出电子态的二重性质，而后乌伦贝克和古兹米特才试图用电子自转来诠释这种性质，直到最后人们意识到，自旋只是在数学性质上像是自转，实际上不能用自转来理解。

=========================下面是黑暗料理=================================

现在我们知道，自旋概念可以从相对论性量子力学中更加自然地涌现出来。由于相对论性量子力学的单粒子态应当保持Lorentz协变性，因此Hilbert空间也必须是Lorentz群（或者加上平移，Poincare群）的表示空间。Lorentz群是一个非紧李群，它的表示是Hilbert空间中与之同态的线性变换群。由于在量子力学中，对易关系决定了量子层面的物理，因此这种变换群对李群的表示关系，可以被推广为变换群生成元对李代数的表示关系。

为了构造Lorentz群的线性表示，我们往往先考虑Lorentz群中保持粒子动量不变的变换，这些变换组成了Lorentz群的一个子群，也叫它的Little group（小群），通过Little group的表示，我们可以系统地构造出整个Lorentz群的表示，这种方法叫做构造诱导表示。对于质量不为0的粒子，也就是大部分我们熟悉的实物粒子来说，Lorentz群的Little group是SO(3)，这是我们常见的空间旋转群。而角动量算符的代数关系就是SO(3)的李代数so(3)在Hilbert空间中的表示，在轨道角动量上，SO(3)群的表示给出了具有整数角动量的量子态随空间旋转的正常性质。但SO(3)的universal covering是SU(2)，这意味着二者在局域意义上是同构的，因而具有相同的李代数。而SU(2)则包含了“转两圈”才回复原位的“奇异”变换。由于角动量算符在Hilbert空间中表示出了so(3)代数，因此作为旋转变换的生成元，它也可以自然地在Hilbert空间中生成出整个SU(2)李群。我们接收了角动量的对易关系，有理由拒绝SU(2)呢？显然大自然也没有拒绝它——我们熟知的世界，正是由自旋1/2的电子、质子、中子等等建筑起来的。

另外需要注意的一点是，自旋只是质量不为0的粒子才具有的特性。严格来说，0质量粒子如光子，是没有自旋概念的，这些粒子具有另一种度量旋转的物理量：螺度(helicity)，它可以看做自旋角动量在粒子运动方向上的投影。在初级的量子力学教科书中，这类分别一般不那么严肃。

对细节感兴趣的同学，可以参考Weinberg I第二章和第五章。

==========================回到光辉灿烂的简单世界==========================

然而，回过头来看，我们其实并不知道自旋到底是什么，甚至不知道自旋，特别是非整数自旋是否对应着粒子的某些奇异结构。在超弦中，整数自旋可以自然地涌现出来，但半整数自旋往往需要用假设的超对称来强加进理论中去。MIT的文小刚教授提出了半整数自旋可以从弦网凝聚中演生出来。

终究来说，我们知道自旋的一切数学性质，但我们离自旋的“本来”面貌可能还很遥远——如果它真的有一个本来面貌的话。

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• 根据Noether定理, 每一个连续对称性对应一个守恒量. 自旋角动量和轨道角动量本质上都是对称性生成的守恒量.

一个自旋https://www.zhihu.com/equation?tex=2s维的不可约表示[1]. 而轨道角动量实际上对应着三维空间转动群的李代数. 由于这两个李代数是同构的, 所以这两个角动量最终都由李代数生成. 具体说来, 角动量算符是的基在态空间上的表示[2]. 注意到李代数和李群通过指数映射相联系, 因此的对称操作与角动量算符通过指数映射相联系. 用物理的话说, 轨道角动量生成无穷小空间旋转.

• 自旋角动量和轨道角动量的区别在于, 前者的对称性是作用在自旋空间的, 而后者的对称性是作用在三维实空间的. 
  
• 可以认为量子数标记了粒子所拥有的自旋, 进而标记了粒子所具有的角动量. 两者通过相联系. 尽管如此, 量子数存在的主要意义是为了通过力学量完备集标记所有量子态. 只有在https://www.zhihu.com/equation?tex=s是好的量子数时它才有价值. 用群论的话说, 量子数是Casimir算子的本征值, 用来区分所有不可约表示.

[1] 严格说来是的complexification的不可约表示. 物理学家往往对, ,,不加区分. 
[2] 比如https://www.zhihu.com/equation?tex=J_z,J_+,J_-完全一样.

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自旋角动量没有经典对应，是纯粹的量子效应，或者说，普朗克常数趋于零的时候，自旋也趋于零
把自旋理解成粒子的“自转”，对理解自旋的物理意义毫无帮助，只有误导
Pauli 曾经质疑过“自转”的物理图像，因为很显然，点粒子自转如果要达到角动量是有限大小的程度，不可避免的要超过光速
对于初学者，接受自旋这个概念，只有从自旋所满足的、和轨道角动量相似的数学关系出发
再次强调，自旋是纯粹的量子效应，在宏观世界没有类比

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经常看到有人说自旋角动量难以理解，似乎轨道角动量就很好理解，确实这是一种误导，以为轨道角动量是电子在围绕原子核打圈圈。但是事实上不是的！

按照经典的角动量概念，角动量是矢量，有方向。那我现在给你一个原子，比如碳原子吧，它的电子轨道角动量在哪个方向？谁知道？没人知道，因为它不是我们经典的角动量！量子力学里的角动量只是描述空间旋转不变性的一个物理量而已！

那么量子力学里的角动量是什么？对于一个概念，我们从它的性质去理解它。在量子力学里面，电子其实可以处于任何状态，注意是任何状态，那么怎么去描述它？

量子力学用守恒量来描述，时间平移不变有能量守恒，空间旋转不变有角动量守恒。。。一定要注意的是这里的守恒是数学上的概念。一般（每个）量子体系都可以有一组守恒量，根据它们可以得到一个完备基组。而上面说的任意状态的电子，把它看作这些完备基组的叠加，也就是说电子可以处于任何一个基组上，只是几率不同而已。

所以，量子力学的角动量只是有一些经典角动量的特征，但是事实上它只是用来描述空间旋转不变性的，而且它是量子化的。基于这个，你就不会对量子力学里面那些角动量加加减减觉得奇怪了。

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关于自旋的，题主去看看施特恩盖拉赫实验，塞曼效应这些东西吧，看完了我相信物理图像也就应该出来了吧。另外从数学形式上来讲可以将其类比成轨道角动量，是个磁矩，所以将其想象成是电子自传造成的，因此称之为自旋。但是，严格的来讲，我们只能称之为内禀磁矩。至于数学上(逻辑上)根本的东西，就要看群论啊什么的。其实对于做实验的(比如测自旋输运)甚至只是出于兴趣而了解，我觉得没必要上升到那么深得层次。

关于轨道角动量的，我就记得rXp, 这方面的数学跟现实联系还是蛮接近的吧。网络上面有各种轨道角动量对应的轨道图(形状不一样)，非常直观的物理图像。只需要时刻记得电子轨道不是行星轨道那种一个圈一个圈的，而是一团一团的电子云。简单来说就是不同的轨道角动量的电子云的形状(球(壳)形，纺锤(壳)形等等)不同。

两个量的意义就是描述电子所需要两个自由度，或者说两个参数。比如描述一个人有身高，体重，民族，性别啊什么的。描述一个电子就需要电荷，质量，主轨道，然后处在同一主轨道的众多电子有不同的角动量，从而它们的轨道形状也不一样。

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