在《GEB》的开头,侯世达教授(Douglas R. Hofstadter)用很小的篇幅总结了1931年以前的数理逻辑史,让人受益匪浅,却又有些不能满足。于是我简单尝试以书中的线索将多一些内容联系起来。
在一切开始之前,需要了解的概念是:
一、通常认为,人类与其他动物的本质区别在于人类特有的推理能力。
二、数理逻辑的发展史,是一个将人类特有的推理能力机械化的过程。
数理逻辑是什么?
在维基百科中有这样的解释:Mathematical logic is a subfield of mathematics exploring the applications of formal logic to mathematics. It bears close connections to metamathematics, the foundations of mathematics, and theoretical computer science. The unifying themes in mathematical logic include the study of the expressive power of formal systems and the deductive power of formal proof systems.
王宪钧教授的《数理逻辑引论》中:“狭义的数理逻辑可以说是用数学方法研究数学中演绎思维和数学基础(如无穷问题)的学科。广义的数理逻辑则包括一切用特制符号和数学方法来研究处理演绎方法的理论。”
关于数理逻辑史的分期,存在一些不同的看法,差别并不大。为方便叙述,我将以萌芽期、奠基期、发展期粗略划分。但在叙述这三部分之前,有必要对更早的历史做一些了解。
前史
通常我们认为莱布尼茨是数理逻辑的先驱,他的思想是现代数理逻辑的萌芽。而在更早的时候,大约早了两千年,有一个人可称是逻辑的先驱,这个人就是亚里士多德(Aristotle)。
众所周知的三段论,今天看来十分平常,甚至我们可以有一些自己的意见。然而在亚里士多德建立直言三段论理论那天起,它的统治就一直延续到十七世纪后期,这段时期被称为古典形式逻辑阶段,以亚里士多德提出的演绎方法 为中心逐渐发展,无数智慧者在逻辑的形式化道路上艰难跋涉。《工具论》是最早从形式结构来论述演绎推理的著作。
另一方面,在数学上,古希腊数学家欧几里德(Euclid geometry)把人们公认的一些几何知识作为定义和公理(公设),在此基础上研究图形的性质,推导出一系列定理,组成演绎体系,写出《几何原本》,形成了欧氏几何。
萌芽期
在十七世纪后期以前,逻辑学一直在亚里士多德建造的基础上发展完善。十七世纪是资产阶级革命的初期,资本主义正处于上升阶段,生产力获得了突飞猛进的发展,自然科学得到了长足的进步。一些思想家提出把当时在各方面都起了十分重要作用的数学方法推广到其他领域的设想。当时古典形式逻辑不足之处已为某些逻辑学者所理解,同时人们感到演绎推理和数学计算有相似之处,希望能把数学方法推广到思维的领域。
在笛卡尔和霍布斯的基础上,莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)提出了数理逻辑的指导思想(理性演算和普遍语言),但并未留下一个完整的形式系统。由于古典形式逻辑思想根深蒂固以及其他原因,欧洲大陆许多人继续莱布尼茨的研究,没能取得大的突破。值得一提的是:乔治·布尔(GeorgeBoole)在逻辑史上首先提出了一个比较成熟的逻辑演算(逻辑代数);德·摩根(Augustus de Morgan)提出了从亚里士多德时期以来一直不被重视的关系逻辑的研究。他们都比莱布尼茨更进了一步。
奠基期
十九世纪七十年代至二十世纪三十年代。
首先要说的是数学方面。十九世纪数学上一个意义深远的发现是人们认识的存在几种不同的,但却是同等有效的几何学。
对于传统的欧氏几何,《几何原理》从非常简单的概念、定义等开始,建立起一个庞大的体系。其中提出了五条公设,长期以来,数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来,显得文字叙述冗长,而且也不那么显而易见,在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理,能不能依靠前四个公设来证明第五公设。很多人尝试用前四条公设证明平行公设,到1763年,至少发表了二十三种不同的证明,都被一个名叫克吕格的人在一篇论文里批驳了。
有几个人同时地摆脱了先入为主的“直线”观念,非欧几何学才得以发展。但于那时的数学界而言,却难以令人兴奋起来,因为它对“数学是研究现实世界的”这种观念提出了深刻的挑战,单一的世界里如何能存在着不同类型的“点”和“线”呢?这一难题在数学界造成了混乱。
古典数学方面,十九世纪八十年代,为消除微积分中与极限理论有关的悖论,格奥尔格·康托尔(Cantor,Georg Ferdinand Ludwig Philipp)发展了集合论,然而不久,各种各样的集合论悖论就相继被发现,如著名的罗素悖论。我们还可以构造罗素悖论的变种格瑞林悖论。为消除悖论中的“自指”这一共同祸根,罗素和怀特海进行了一次庞大的实践,《数学原理》就是这一实践的成果。他们引入人为分层次的类型论,解决了罗素悖论,然而对格瑞林悖论或者说谎者悖论并不起作用。既是,《数学原理》只在集合论的层面上“解决”了悖论,如今来看,它的确过于强调简单的一致性,而使人陷入一种有些别扭的理论之中。
数学中的这类问题使人们对出现与本世纪早期的将推理方法规范化的尝试抱有浓厚的兴趣。数学家和哲学家开始对数学本身产生重大的怀疑。1900年8月巴黎国际数学家代表大会上,大卫·希尔伯特(David Hilbert)提出著名的二十三个问题。希尔伯特为了发表在1900年的演说在之前做了细致的准备,当时他有两个想法:作一个为纯粹数学辩护的演讲,或者讨论一下新世纪的发展方向,为此他与闵可夫斯基讨论,两位数学家都认为第二种题目更具有划时代的意义,希尔伯特为此准备了8个月,才完成了演讲稿。
二十世纪二十年代,希尔伯特提出方案,向全世界的(元)数学家提出挑战:严格地论证《数学原理》一书中定义的系统既是一致的又是完全的。但是在1931年,哥德尔(Kurt Friedrich Gödel)发表了他的论文,这篇论文从某种程度上彻底粉碎了希尔伯特方案。它揭示了不仅在罗素和怀特海提出的公理系统中有不可弥补的“漏洞”,并且,更一般地说,没有一个公理系统可以产生所有的数论真理,除非它是一个不一致的系统。要证明一个像《数学原理》中提出的那种系统的一致性是徒劳的:如果能只使用《数学原理》里面的方法找到这样一个证明的话,那么《数学原理》本身就将是不一致的。
这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化,更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。该定理与塔尔斯基(Alfred Tarski)的形式语言的真理论,图灵机和判定问题,被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。
哥德尔澄清了种种问题,为数理逻辑奠定了基础。他的工作促使逻辑的某些部分转化为数学的分支,并推动数理逻辑进入下一阶段。
发展期
二十世纪三十年代以后。
中心内容大致可分为:
一、证明论、集合论、递归论、模型论
二、各种逻辑系统的研究(模态逻辑、多值逻辑、时态逻辑、模糊逻辑)
和理论计算机科学有着深刻的联系,有关程序语言和计算性理论的研究正在蓬勃发展。
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准备文件(二)
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