摩尔定律的拯救者-从组合角度浅谈陈省身示性类
在过去的几十年，计算机科技彻底地颠覆了人类社会的所有方面，这一切都是基于集成电路技术发展的摩尔定律：集成电路上可容纳的晶体管数目，约每隔24个月便会增加一倍。由于物理规律的制约，人们预计摩尔定律将于2015年终止。目前，人们寄希望于拓扑绝缘体理论和技术的发展，希望拓扑绝缘体能够力挽狂澜，拯救摩尔定律。凝聚态物理中的拓扑绝缘体理论是基于陈省身示性类的。恰如黎曼发明了黎曼几何，多年之后被爱因斯坦用于表达广义相对论；陈先生发展了陈类理论，多年之后成为拓扑绝缘体的理论根基。历史一再证明，数学家对于纯粹美学价值的追求，最终导致最具实用价值的技术，从而从根本上促进了生产力的发展，提升了人类文明。
纤维丛 给定两个流形，底流形B和纤维F，纤维丛E是由一族纤维组成的流形，这族纤维由底流形参数化，局部看起来像两个流形直积的空间，但是整体上有扭曲。比如，我们令底空间为单位圆周，纤维空间为线段区间
，纤维丛有两种：圆柱面和莫比乌斯带。它们局部都是直积结构，但是圆柱面整体是直积，莫比乌斯带整体不是直积，两者拓扑不同。
图1. 底空间和纤维相同的两个纤维丛。
一个纤维丛由四元组给出，B为丛的基空间（如圆周），E为总空间（如圆柱面），F为纤维（如线段），投影
为连续满射。我们要求对于B中的每个x,存在一个x的开邻域U，使得
是同胚于积空间
的，并且
使得以下的图可交换：
其中是自然投影而
是一个同胚。所有
的集合称为丛的局部平凡化。
示性类 那么，我们如何区分圆柱面和莫比乌斯带呢？关键在于寻找某种拓扑不变量。
图2. 0-截面的自相交数，左侧圆柱面，右侧莫比乌斯带。
我们考察柱面和莫比乌斯带中位于中央的圈，如图2的红色曲线所示，如果我们在丛中同伦变换这个圈，得到蓝色曲线。在圆柱面中，红色和蓝色曲线的相交数必是偶数；在莫比乌斯带中，相交数必为奇数。红色和蓝色圈同属一个同调类，0-截面，相交数模2为此同伦类在丛中的自相交数。因此0-截面的自相交数为丛的拓扑不变量，又称为丛的示性数。
纤维丛的截面（section）是一个连续映射使得
对于所有B中的x成立。直观而言，一个截面就是一个和底空间同胚的流形，它和每一根纤维有且只有一个交点。想象我们拿着一把锋利的刀砍向一个纤维丛，使得每一根纤维都被拦腰砍断，丛的截口或横断面就是一个截面。
整体是直积的纤维丛被称为是平凡丛，平凡丛的一个截面可以看成是定义在底流形，取值在纤维上的函数的图（graph）:
。
我们再考察一个封闭曲面，其所有切平面组成的流形被称为是曲面的切丛，记为
。封闭曲面
为底流形，二维平面为纤维，切丛中的一个截面就是曲面上的一个光滑切向量场。如果点点切向量为0，则我们得到0-截面，即点集
。如果切丛整体是直积，则0-截面在切丛中的自相交数应该为0。这一点可以这么看，我们选定一个常值的非零向量
，考察截面
，
，
对于正的，截面
和0-截面同伦，并且
和0-截面同伦没有交点。
那么实际上，曲面切丛的0-截面（在切丛中）的自相交数等于多少呢？显然，应该等于切向量场上零点的个数。矢量场的零点具有代数指标，假设p是曲面上一个孤立零点，即存在一个邻域，在此邻域中只有一个零点。我们在邻域中做一封闭圈
，定义映射
：
，
这里q是曲线上一点，v(q)是q点处的切向量。
诱导了基本群间的同态 ,
, 这里整数k被称为是零点p的代数指标，记为
。 如图3所示，矢量场中的源和汇的指标为+1，鞍点的指标为-1,
图3. 矢量场零点的指标。
如果矢量场存在非孤立零点，我们可以对矢量场做微小扰动，从而是所有零点都成为孤立零点。矢量场的总指标定义为所有孤立零点的代数指标之和。
我们在前面【山外青山-浅谈不动点类理论】讲过，矢量场零点指数和曲面同伦于恒同映射的自映射不动点指数密切相关。给定一个矢量场，我们可以构造一个曲面自映射：
，矢量场的零点对应于此映射的不动点，并且，零点的指标等于不动点的指标。因此，矢量场的零点的总指标等于恒同映射的不动点总指标。我们用Lefschetz不动点公式，来计算恒同映射的不动点总指标： 我们任选曲面的一个三角剖分，（V,E,F)分别代表顶点，边和面数，
。
我们得到矢量场零点的总指标等于曲面的欧拉示性数，这正是所谓的Hopf定理。矢量场零点总指标等于0-截面在切丛中的自相交数，它是切丛的示性数。
图4. 发球(hair ball)定理。
现在，我们可以来解释所谓的发球定理（hair ball theorem）：任何人头发上都有一个螺旋儿，因为球面上的切矢量场零点总指数为+2，所以矢量场必有零点。陈先生给出过一个具有诗意的比喻： 地球上各点的风速是一个球面切矢量场，无论你所在的地方多么狂风大作，世界上总有一个地方风平浪静。
拓扑障碍类 下面我们给出拓扑障碍类的讲法，这种方法比较普适并严格。 我们考察球面的单位切丛
，
也被称为圆丛，因为每一点的纤维是切平面上的单位圆。 球面圆丛上的任意一点是球面上某点处的单位切向量，其中切向量
，为了表征点p，我们需要两个参数；为了表征单位切向量v(p)，我们只需要一个角度参数，因此我们一共需要3个参数来表示
。所以球面的圆丛是一个三维流形。那么，这个流形的拓扑如何决定？
答案是圆丛的拓扑决定于曲面的局部参数变换。首先，我们将球面沿着赤道切开，得到两个半球面。上半球面上存在处处非零的切矢量场，记为
，因此上半球面的圆丛具有整体坐标
， 这里p为上半球面中一点，
为从
转到
的角度。因此，上半球面的圆丛整体是直积结构。上半球面和单位圆盘
同胚，因此，上半球面的圆丛是
，即实心轮胎。同理，下半球面的圆丛也是一个实心轮胎。两个实心轮胎沿着边缘粘起来，就得到球面的圆丛。问题的关键在于，如何将两个实心轮胎粘起来。实心轮胎的边缘是一个轮胎曲面，我们需要确定两个轮胎曲面间的拓扑同胚，
，它确定了粘合方式。
图5. 球面圆丛的构造： a 映成了 a， b 映成了 b + 2a。
图6. 球面圆丛的构造： a 映成了 a， b 映成了 b + 2a。
如图5所示，粘合映射将a映成a（红线），a在这里是纤维，即代表一点处的单位切向量构成的圈
；
将b映成2a+b（蓝线）。图6进一步解释粘合映射：我们将轮胎沿着a,b切开展平，得到左侧的长方形（基本域），然后映到另一个轮胎（右侧的平行四边形，左右为蓝色斜边，中间填满红色箭头），左侧的红线a映到右侧的红线a，左侧的蓝线b映到右侧的蓝线2a+b。我们可以看到，这种粘合映射是极度扭曲的。
图7. 球极投影。
为什么左侧的b被映成了右侧的b+2a，这是由于切丛的结构被曲面的局部坐标变换函数所决定。我们为单位球面建立两个局部坐标 z 和 w 。首先从北极进行球极投影，将下半球映到单位圆盘，坐标记为 z；然后从南极进行球极投影，将上半球映到单位圆盘，坐标记为 w。那么坐标变换就是：
，
我们得到余切向量间的变换公式为 ，这里
代表余切向量的局部表示；对偶地，切向量间的变换公式为
，这里
代表切向量的局部表示。考察赤道上一点
，我们得到
。切向量局部表示之间的相位差
使得
。
这个解释有一个直观的理解：假如我们有两个同样大小的硬币，我们固定其中一个，另一个和第一个硬币相切，并绕第一个旋转，旋转过程中两个硬币边缘的齿轮纹路彼此咬合，无滑动。那么，当第二个硬币围绕第一个硬币旋转一圈，回到初始位置时，第二个硬币自身旋转几圈？答案是两圈，就是这里的2a。
下面，我们考察下面的问题：球面的圆丛上是否存在全局截面？直观上讲，我们能否在圆丛的三维流形内找到一张曲面，和底空间球面同胚，同时这张曲面和每根纤维有且仅有一个交点。
纤维丛上全局截面存在的障碍就是示性类，表示成底空间二维上同调群中的一个上同调类。
我们进行如下构造，这种构造方法给出计算陈类的一种组合算法。首先，我们将底曲面三角剖分，剖分足够细，以至于丛在每一个三角形上的限制都是局部平凡的。
我们对每个顶点
， 在此顶点的纤维中任选一点
，
对任意一条边
，圆丛在其上的限制是直积
，我们在此圆柱面上任选一条曲线，连接
和
，这样，我们把截面f拓展到所有的边上，
对任意一个面
，圆丛在其上的限制是直积
，这等价于我们求一个连续映射
，并且此映射在三角形的边界上已经定义
。边界映射诱导同伦群间的同态：
。假设
，这里k可以看成是环绕数（winding number）。如果k为零，则映射f可以拓展到三角形内部；如果不为零，则映射无法拓展到三角形的内点，我们遇到了障碍。
我们来证明一下如果环绕数非零，则连续映射无法拓展到三角形内部。否则，假设映射可以拓展，我们得到映射序列，
从而得到它们诱导的基本群之间的同态，因为，所以
，这和环绕数非零矛盾，因此连续映射无法拓展到整个面上。
这样，我们为每个面赋值f在其边界上得到的环绕数，定义了一个2-形式。一个自然的问题是，如果我们遵循以上算法构造两个截面
，得到两个2-形式
，那么它们之间是否上同调等价。答案是肯定的，即存在一个1-形式
，
。1-形式的直观解释如下，固定边
，构造路径
，定义
为
和
之间的夹角，
。
同时，显然我们有
，
因此，
上同调等价。
根据以上讨论，我们得到如果处处为0，则构造过程中没有拓扑障碍，我们能够得到全局整体截面。如果
则二形式和0上同调等价，存在一种构造方式，以上讨论的拓扑障碍不会存在，圆丛存在全局截面；反之，存在障碍，全局截面不存在。这个上同调类
就是陈示性类。
对于高维底流形，我们可以继续将截面f向高维单纯形逐步拓广，首先定义顶点的像，然后边，三角面，四面体，4-单形，等等，直至无法前行。
假如纤维的各维同伦群
都是平庸的，但是非平庸，如果我们止步于（k+1）维单纯形，那么所得的（k+1）维上同调类
就是陈类。
从这里讨论我们看到，组合方法得出的拓扑障碍就是陈类；这种方法容易理解，但是不便于计算。通常计算流形高维的同伦群是非常困难的。陈省身先生的一大贡献在于将拓扑障碍类用联络和曲率表示出来，从而极大地简化了拓扑障碍类的计算，将纤维丛进行有效的同伦分类。接下去的章节，我们会从微分几何的角度进一步解释陈类，同时介绍凝聚态物理上对于拓扑绝缘体的陈类解释。
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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。