Comsol基础案例：洛伦兹方程的混沌现象模拟
Comsol 基础案例教学：混沌
美国气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz，不要和提出洛伦兹变换的那位搞混）是混沌理论的奠基者之一。20世纪50年代末到60年代初，他的主要工作目标是从理论上进行长期天气预报研究。他在使用计算机模拟天气时意外发现，对于天气系统，哪怕初始条件的微小改变也会显著影响运算结果。随后，他在同事工作的基础上化简了自己先前的模型，得到了有3个变量的一阶微分方程组，由它描述的运动中存在一个奇异吸引子，即洛伦兹吸引子。
洛伦兹方程是一组典型的非线性方程，来源于大气物理研究。在一定的参数下，方程的解表现出了非常复杂而又有趣的现象。本案例要求采用数值积分的方法，求解如下洛伦兹方程：
其中a=10，b=28，c=8/3。初值分别为12，2，9。
选择选择组件1，右击，选择变量，输入下列参数
变量名称 | a | b | c |
数值 | 10 | 28 | 8/3 |
选择组件1，选择几何1，右击，选择间隔，点击构建所有对象
选择组件1，选择系数型偏微分方程，选择系数型偏微分方程1，设定如下图所示的各系数矩阵
选择组件1，选择系数型偏微分方程，选择初始值1，设定如下图所示的各初始值
选择研究1，选择瞬态1，在瞬态设定对话框，研究设定中设置时间的范围为range(0,0.005,30)；选择研究1，右击，选择计算，求解完成
在洛伦兹原始的工作中，x表示的是对流的翻动速率，y正比于上流与下流液体温差，z是垂直方向的温度梯度。式中三个参数a、b和c可任取大于0的数值。常用的组合是a=10,b=8/3，而令b取不同数值。b=28时有混沌现象，奇异吸引子出现，此时系统的演化轨迹如结果图1所示。结果图1颇似蝴蝶展翅，所谓混沌理论的“蝴蝶效应”之得名据说也与此吸引子的形状有关。
作者：冰封清泉，从事力学相关研究。
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