布尔巴基结构主义与希尔伯特形式主义的比较研究

布尔巴基结构主义

与希尔伯特形式主义的比较研究

黄秦安

作者简介：黄秦安(1962- )，男，陕西西安人，陕西师范大学数学与信息科学学院教授，博士生导师，研究方向为数学哲学与科学哲学。西安 710119

人大复印：《科学技术哲学》2017 年 01 期

原发期刊：《科学技术哲学研究》2016 年第 20165 期 第 1-6 页

关键词：布尔巴基/ 形式主义/ 结构主义/ 元数学/ 公理化/ 数学知识范式/Bourbaki/ formalism/ structuralism/ metamathematics/axiomafization/ paradigm of mathematical knowledge/

摘要：20世纪初，为克服朴素集合论悖论，构建坚实的数学基础，形式主义者提出了宏伟的“希尔伯特纲领”，哥德尔不完全性定理的发表使得形式主义的整体目标以失败告终。重建数学基础的问题再次变得迫切。布尔巴基学派应运而生，逐渐崭露头角并迅猛发展，对20世纪纯粹数学的发展产生了至深的影响。无论是从哲学还是数学的视角看，形式主义与布尔巴基结构主义之间既有着难以分割的联系，又有着许多本质上的差异。两者的共性显示了其在揭示数学知识本质上的哲学深度，而两者之间的异质差异性见证了20世纪数学知识多样恢宏的范式转换。

为了解决集合论悖论造成的数学基础危机，在数学界最有影响的是以希尔伯特为代表的形式主义学派提出的解决方案，然而，希尔伯特建立在元数学基础上的证明论却并没有成功。20世纪30年代，布尔巴基结构主义运动端倪初现并逐步形成一股强有力的“新数学基础”运动。那么，形式主义和结构主义的基本思想是什么?其数学和哲学主张有什么共性与差异?这些对数学发展又有怎样的启示?

一、形式主义纲领与其基本目标的落空

形式主义数学思想形成的一个重要动因是致力于将数学的抽象化推向舍弃任何具象内容的形式公理化的高度。其先驱和代表人物希尔伯特(D.Hilbert)主张把数学表示为形式化的系统，在《几何基础》这部划时代的著作中，与欧几里得的实质公理，学不同，希尔伯特对点、线、面等基本概念不给予任何解释，其意义仅仅存在于其满足的公理及其结构之中。因此，一个数学系统可以称为公理化的系统，是指选取尽可能少的未加定义的原始概念(或者叫作基本概念)，以彼此关联且制约的若干规定(或者叫作公理)为出发点，通过逻辑推理，使得所选取的数学系统变成一个纯演绎系统。这样，数学对象的具体内容就被完全舍弃掉了，只剩下形式的外壳。

形式主义数学思想形成的另一个重要动因是如何克服集合论悖论。集合论诞生之后，很快成为建构任何可能的数学对象及关系的一个绝佳平台。而集合论悖论(如布拉利—福蒂悖论、康托悖论和罗素悖论等)却困扰着数学家们。面对数学基础危机，形式主义者主张用形式公理化系统去整合整个古典数学。“希尔伯特的计划是把古典算术充分地加以形式化分析同时力求避免悖论。”[1]一个数学系统的形式化就是把这个数学系统用形式语言进行描述，而这一形式语言需要满足符号系统、形成规则和变形规则等几个条件。希尔伯特纲领的主要目标是将古典数学表示为形式化的公理体系，然后证明其相容性。

为了实现这一纲领，希尔伯特创立了证明论。著名数学家冯·诺伊曼(J.V.Neumann)曾把证明论的思想概括为以下4个步骤：

(1)罗列出在系统中所使用的所有符号。包括符号“～”和“→”(分别表示“否定”和“蕴涵”)。这些符号称为“原始符号”。

(2)列出所有在经典数学中被列为“有意义”类的陈述的组合。这些组合叫作“公式”。(这里只是说公式是“有意义”的，并不表示必然“为真”。像“1+1=2”这样的公式是有意义的，“1+1=1”也是有意义的，因为一个公式有意义与否与其中一个为真另一个为假无关。而像“1+→=1”和“++1=→”这样的组合公式就是没有意义的。)

(3)接下来需要给出一个构造的程序，借助于这一程序，可以构造出相当于经典数学中的“可证明的”陈述的所有公式。这样一个构造程序就被叫作本系统中的“证明”。

(4)采用有限的组合方式去对那些与在经典数学中采用有限性算术方法得到的陈述相应的公式加以证明，也就是说，可以被(3)中所描述的过程证明(或构造出来)。[2]73

有学者相信，如果坚持有穷主义原则和方法，根据哥德尔不完全性定理的结论，希尔伯特的上述证明论目标就是无法实现的。[3]

形式主义者对于数学和元数学的划分以及不同的意义赋予可谓意味深长。在数学层面上，形式主义者倾向于保留古典数学、集合论和实无限领域，但到了元数学的层面上，形式主义者就开始否认数学对象的实在性，把数学仅仅看成是符号与符号之间的某种关系，数学系统就只不过是一套形式化了的符号系统而已。“数学中的真理和存在等价于其一致性，数学可以用多重存在的真理构造多重的符号世界。”[4]希尔伯特的这一见解体现了不同于传统数学观的新认识，有着解构关于数学对象存在的柏拉图主义观念的价值，同时也留下了对数学应用性的解释几乎“失语”的理论软肋。

二

布尔巴基结构主义的思想脉络

20世纪30年代，包括形式主义和逻辑主义在内的基础主义整体目标遭到失败，这促使数学家再次思考：数学究竟应该有一个怎样的基础?数学基础如何加以构造?这些严峻的问题再次被数学共同体所关注。布尔巴基学派由此应运而生。布尔巴基并不是一个人名，而是一个集体的笔名(全名为Nicholas Bourbaki)。1935年成立时有七位数学家①，之后布尔巴基的成员在不断地变化着，但其宗旨却始终一致。布尔巴基学派从一开始就计划通过回顾式的梳理，对全部现代数学进行一番彻底的探讨，并书写一部百科全书式的数学巨著《数学原理》。在1947年，以布尔巴基这一笔名发表的《数学的建筑》一文，被布尔巴基看作是自己思想的宣言。[5]

在《数学的建筑》这篇划时代的文献中，布尔巴基表达了对数学高度的专业化发展带来的分化与分裂局面的担忧以及重新构筑数学统一性的宏伟愿望：“数学这样如此强有力建构的有机体，随着其新的生长，是会获得更强大的凝聚力和统一，还是像外部呈现的那样走向逐步分裂的趋势，并成为内在于数学的本质。数学的领域是否不会成为巴别塔，这意味着其中自主的学科之间不仅在目标上，而且在方法和语言上会越来越普遍地彼此分离。”[6]布尔巴基认为，数学不是由一系列孤立的学科构成的，传统的数学分类实际上不符合这门学科的深刻性质。例如，算术是研究数的科学，几何是研究空间对象的科学，代数是研究方程的科学，分析是研究函数的科学等。布尔巴基认为，真正要紧的不是所研究对象的性质，而是它们相互的关系。

布尔巴基的结构思想得益于19世纪中叶以来数学在各个知识领域的繁荣与进步。特别是像群、域、环、向量空间这样一些基本的抽象结构，为处理各种数学对象及其关系奠定了基础。利用这些结构的一般性质，可以轻易地得到以前是由一些复杂的特殊论证和计算才能得到的东西。与之前的许多数学哲学流派和主张相比，布尔巴基显现出其新的思想特色，这就是结构主义思想及其范式。结构主义范式对于深入理解数学发展的特点有着多重的价值。尤其是对于纯粹数学来说，结构主义思想具有一种揭示其知识内在关联性和本质的功效。

在对以往数学，尤其是19世纪中叶以来的数学进展进行梳理的基础上，布尔巴基学派提出了数学的三种基本结构或者叫母结构。[6]一个是代数结构，比较典型的代数结构有群、环、域、代数系统、范畴、线性空间等。第二个是序结构，如果可以在集合中的某些元素之间建立或规定一种顺序关系，那么就可以称之为具有了一种序结构。其中比较典型的有数系中的大小关系、类的包含关系等，还有诸如半序集、全序集和良序集等等都是具有序结构的。还有一个是拓扑结构，这一结构可以用于描述具有连续性、分离性、邻近等空间性质的数学对象。比较典型的有紧致集、连通集和拓扑空间等。一个系统可以根据不同的运算规则和性质形成不同的结构。比如在实数系中，有加(减)运算或乘(除)运算，它们可以各自按照加法或乘法运算构成两种互相联系的代数结构。而在实数集合中，由于任意两个实数都可以比较大小，因此其大小关系可以形成了一种序的结构。同样还是在实数集上，其连续性又能体现出其拓扑结构的性质。

在三种基本结构(母结构)的基础上，通过添加一些性质和公理，就可以派生出各种子结构，其中两种以上的结构可以通过添加新的条件产生出复合结构。如在实数集中，如果a>b，则a+c>b+c，这样代数结构与序结构就被联系在一起了。再如，拓扑群是在群结构上通过引入拓扑结构得到的。H空间(希尔伯特空间)是线性空间(代数结构)添上内积型拓扑(拓扑空间)所构成的数学系统。

三

布尔巴基对形式主义的承继性与两者之间的相似性

与形式主义者相比，布尔巴基的数学工作则可以看作是在更为广泛的知识背景之下对数学进行新的构成基础的探索。从两者的共性看，与形式主义一样，结构主义仍有很深的基础主义、元叙事和宏大叙事痕迹。尽管结构主义者特别声称其基本立场与基础主义三大流派的差异，但形式主义是布尔巴基结构主义思想的一个重要来源，而结构主义也可以看作是一种新的数学基础主义思潮。具体来看，其承继性与相似性表现为如下几个方面：

(1)数学思想的承继性。从一定意义上讲，布尔巴基结构主义就是形式主义纲领在数学层面(而非元数学层面)上的一种实现。布尔巴基的代表人物之一迪奥多涅认为，布尔巴基“原来的产生是为了以细致和完备的方式阐明所谓‘形式主义’数学家的实践”。[7]188而雷克(E.R.Reck)和普利斯(M.P.Price)在“当代数学哲学中的结构与结构主义”一文中，把形式主义看作是结构主义的一种主要类型。[8]所以，形式主义与布尔巴基在数学思想与立场上的相似性是明显的。

(2)两者都具有数学话语的宏大叙事性和元叙事性。追求整体性和统一性，是形式主义与布尔巴基结构主义的一个共同特征。形式主义是数学基础主义的一个典范。“论无限”是希尔伯特的一篇著名的演讲，希尔伯特在其中表达了对于数学基础在数学知识判断上所具有的最高权威的看法：“在某种意义上，数学成了一个仲裁法庭，一个裁决根本问题的最高法庭。”[2]230然而，这种具有终极意义的宏大叙事或元理论的基本立场却遭到了来自多方面的质疑。法国哲学家利奥塔尔(J.F.Lyotard)站在后现代的立场上对元叙事的合理性提出批评：“我们不再相信存在着一个能一劳永逸地捕捉住每一个最初级话语真理的具有特权的元话语。……所谓的元话语只不过是所有话语中的一种。”[9]

(3)对基础主义的追求。形式主义本身就是典型的基础主义流派之一，在布尔巴基思想中仍有很浓重的基础主义痕迹。布尔巴基力图建立整体化的数学知识结构。力度强大的理论综合和对几乎所有纯粹数学的重新整理，几十卷浩瀚的数学巨著，都是其重建数学基础的成就。

(4)对公理化方法和逻辑方法的推崇和应用。公理化思想可以追溯至2000多年前古希腊著名几何学家欧几里得的《几何原本》。在非欧几何的发现过程中，古希腊时期的实质公理化逐渐演变为当代的形式公理化方法。在希尔伯特的《几何基础》以及形式主义纲领中，形式公理化方法都发挥了重要的作用。同样在布尔巴基学派那里，公理化方法依然是数学知识系统化的一个锐利武器。此外，对逻辑方法的坚持和使用也是形式主义和结构主义的一个共同特色。其代表人物之一迪奥多涅对逻辑方法的重视甚至超过了集合论，另一个代表人物嘉当则表达了数学建立在逻辑基础上的观点。[10]

四

结构主义与形式主义的异质性与差异性

当代著名数学家阿迪亚(M.Atiyah)在2000年一次重要的会议上所做的题为“20世纪的数学”的著名演讲中，把布尔巴基看作是希尔伯特最著名的弟子。“布尔巴基尝试将希尔伯特的数学公理化和形式化规划推进到一个更加卓越的范围，并取得了不小的成功。”[11]这一判断应该说只说对了一半，即布尔巴基在一定程度上承继了形式主义的事业，但布尔巴基的结构主义数学与数学哲学却不能简单地看作是形式主义数学与数学哲学思想的一个放大、延伸和扩充。除了上节所论述的结构主义与形式主义之间的相似性之外，还应该看到结构主义与形式主义之间的若干本质差异。

结构主义作为在时间上稍后的一种新学派，对形式主义学派所遭受的挫折自然是知悉的。因而，布尔巴基在制定自己的研究规划的时候，放弃甚至远离了形式主义的一些基本立场、原则和问题，以避免重蹈形式主义的覆辙。[12]吸取形式主义的思想精髓，同时避免其缺陷和短板，尽力形成自己独特的研究范式，这正是结构主义自觉的理论选择，也是其强大持续的生命力所在。

概括看来，布尔巴基结构主义与形式主义数学的差异性体现在哲学或数学的观念、知识范式、研究逻辑与共同体形式等各个方面。

首先，在数学观上，由静态、绝对主义的数学观向动态发展的数学观的转变。形式主义是绝对主义数学观的一个典型。[13]151与形式主义的绝对主义数学哲学主张相比，布尔巴基数学哲学显现为一种动态相对性，并因此拉开与形式主义的距离，同时也构成了与形式主义的哲学分野之一。布尔巴基这样写道：“对于公理方法来说，没有什么比静止的科学概念更异己的了，我们不想给读者留下一个印象，仿佛我们企图给出公理方法的终极状况的纲要。无论在数量方面还是在本质方面，结构都并非始终不变的，完全可能的是，数学的进一步发展将导致基本结构的数量的增长。”[6]

其次，在知识范式上，由知识的永恒封闭系统向多样开放系统的转变。与形式主义试图一劳永逸地解决数学基础问题的看法不同，按照布尔巴基的说法，数学虽然有三种基本的母结构，但却可以通过添加新的结构性质来构建新的结构类型。这也就意味着，数学不是一个单一的知识体，而是一个彼此交互作用的动态知识生物体。这是与形式主义纲领的一个根本性差异。

第三，从元数学回归到数学以及内容与方法的分离。形式主义者区分数学与元数学，并对“元数学”抱有极大的期待。而布尔巴基则从根本上放弃了元数学的立场。在布尔巴基的数学宏图中，直接把研究的视角对准20世纪的纯粹数学，加快了当代数学的整体重建，因此其规模更为壮观，与数学家和实际的数学研究更加接近。

在知识体系上，形式主义建构了元数学的系统，这样数学就被划分为二元结构：元层面和非元层面的。但布尔巴基取消了元层面，简化了数学知识体系，变为结构论。进而，元数学和数理逻辑在数学基础建构中的核心地位也被动摇了：“对于当今几乎所有数学家来说，逻辑和集合论已经成为边缘学科，在1925年以后就已经如此”。[7]188即便是划时代意义的“哥德尔不完全性定理”，布尔巴基都不提及。[12]布尔巴基在方法与内容上的这一背离(即在方法上对严格性的追求，对逻辑的强烈依赖与在内容上远离元数学和数理逻辑)构成了结构主义思想的一个内在悖论。

第四，从追求数学基础的统一性到追求数学结构的统一性的转变。追求数学的统一，是形式主义和结构主义孜孜以求的一个共同目标。在“数学问题”这篇著名的演讲中，希尔伯特宣称：“数学的有机的统一，是这门科学固有的特点，因为它是一切精确自然科学知识的基础。”[14]形式主义者区分了古典数学和现代数学，有限数学和无限数学等。因此，有穷主义方法和算术基础的可靠l生就成为焦点。与形式主义的元数学纲领相比，结构主义者却有着更大的野心，它试图整理的是19世纪中叶以来数学各个领域的知识总体。除了使用公理化方法之外，布尔巴基选择了采用结构的观念作为建筑数学的工具。[15]与形式主义的基础统一性相比，布尔巴基追求的是结构的统一性。

第五，与希尔伯特的哥廷根学院派数学团体不同，布尔巴基开创了一种新的数学研究范式。布尔巴基是数学共同体紧密合作的范例。以集体笔名的形式长达数十年发表论文和专著，为布尔巴基首创。在之前和之后，再也没有出现过像布尔巴基学派这样如此长的时间、如此大的规模和如此有影响力的数学团体。更重要的是，布尔巴基开创了一种与工作数学家(working mathematicians)紧密相关的数学哲学范式。[16]在布尔巴基看来，一种数学哲学如果没有与大多数数学家的数学研究有紧密的关系，就不能认为是很好地体现了数学的基本发展趋势。迪奥多涅就曾在“布尔巴基的数学哲学”一文中提出：“真正的数学的认识论或数学哲学应该以数学家具体的研究方式为其主题。”[7]187这种工作数学家的数学哲学，其基本特点是数学家的数学立场和哲学取向与其数学研究相一致。[17]

五

若干回顾与反思

强的意义下(即有限主义立场)的形式主义纲领在30年代以来已成强弩之末。但形式主义规划在数学的专业化方向上却是硕果累累，特别是在集合论、证明论、元数学、递归论、图灵机等学科领域上的发展。[13]20②而在纯粹数学领域，自1935年始，布尔巴基结构主义在辉煌了近半个世纪之后，到1983年，布尔巴基出版了其最后一部著作之后就陷入沉寂。那么，形式主义和布尔巴基运动的理论软肋何在?对于认识数学的发展和数学哲学又有怎样的启示呢?

形式主义与结构主义对应用数学和现实世界的不敏感性和弱的解释力，是其各自主张的共同缺陷。由于形式主义者视数学为纯粹的符号系统，如此一来，数学与实在的关系就被割裂开来。因此其理论就无法对数学在科学、社会、现实生活中作用给出很好的解释。形式主义数学的这一缺陷常被学者所诟病。③同样，结构主义对自然科学问题的淡漠甚至让赫尔曼(R.Hermann)感到惊讶：“布尔巴基的传奇兴起于量子力学繁盛的时期，在达到其全速发展的时期，正是爱因斯坦的几何学引力理论被最终理解，基本粒子物理开始散播……许多核心数学正在通过系统、控制和最优化理论整合到工程和经济学当中的时代，然而这些发展却没有在他们的文献中留下一丝痕迹。”[20]④而数学只有与科学和现实世界保持丰富的联系，从中汲取无尽的养料和源泉，才可能避免退化，保持旺盛的活力。

形式主义数学与结构主义数学作为追求严格性数学范式的两个典范，其所秉持的范式与信念受到了多样化、非形式化和非严格化数学知识范式及其观念的挑战。在形式主义和在结构主义那里，严格性是衡量数学知识可信性的一个重要指标。而对严格性的追求又与公理化理论的语境与框架紧密相关。[21]这一纯粹的数学内部严格性标准受到了来自多方的批评。数学家瑟斯顿(W.Thurston)并不看重形式化的证明，而是强调了在进行数学研究时想法的涌动和数学共同体关于有效性标准的看法的重要性。[22]而在推测性数学的倡导者那里，数学传统的严格性受到了质疑。其代表人物贾弗(A.Jaffe)和奎因(F.Quinn)在引起极大反响的“假设数学：走向数学和理论物理的文化综合”一文中，主张把数学分为由证明所确立的“严格数学”(rigorous mathematics)和建立在推测和直觉基础上的“假设数学”(theoretical mathematics)，并论证了允许“推测数学”(speculative mathematics)存在的理由。[23]在“证明和数学中的革命”一文中，贾弗还特别谈到了布尔巴基的形式论证。贾弗认为随着数学的发展，人们日益感到有必要放宽证明严格化的标准，而“在另一个方向上，从柯西到布尔巴基的钟摆却晃得太远了”。[24]

通常而言，一个流派或学派最显著和突出的特色也恰恰就是其可能的缺陷和不足。形式主义规划的突出特点是过于强势和严苛的主张。事实是，如果把有限主义原则予以放宽，那么证明论可以沿着一条新的道路继续前进。比如在1935年，数学家根岑(G.Gentzen)运用超限归纳法证明了算术的相容性。[25]而结构主义对形式化结构系统的青睐，排斥了难以结构化的数学对象和实体，自然就给自己设立了认识的局限和盲点。比较而言，形式化和结构化并不能完全覆盖数学知识的所有领域。尤其是20世纪下半叶，数学知识演化出现了多样化的态势。非形式化和非结构化的知识类型不断出现，构成了数学知识建构的突出特征。诸如混沌、分形、突变理论、非线性科学(如非线性动力系统)、模糊数学、随机数学等复杂性科学学科，都是宏大的范式难以刻画的。其中，复杂关联度(即与其他学科的交叉度高，难以完全析出知识的结构性独立指标)、内隐性(即难以完全刻画和穷尽的)和边际模糊性(即没有明显的结构形态)构成了这些学科的知识特点。

注释：

①这七位数学家分别是嘉当(Henri Gartan)、谢瓦莱(Claude Chevalley)、迪奥多涅(Jean Dieudonné)、德尔萨特(Jean Delsarte)、曼德尔布罗依特(Szolem Mandelbrojt)、波塞尔(René de Possel)和韦尔(André Weil)。

②在哲学理论观点上，其后继者库里(H.Curry)是一个代表。库里提出了作为结构主义的形式主义理论。在库里看来，形式主义就意味着把数学当作是形式系统的命题。后来，库里确认了形式主义所坚持的数学的本质在于其形式的方法的见解，进而认定了数学是关于形式方法的科学。[18]此外，鲁滨逊(A.Robinson)、科恩(P.Cohen)、亨利(J.Henle)和德特勒夫森(M.Detlefsen)等都发展了各自不同样式的形式主义。

③需要说明的是，在数学与物理学的关系上，希尔伯特所坚持的并不是严格的形式主义态度。希尔伯特对物理学的数学基础、相对论、量子力学等都有浓厚的兴趣和研究。[19]

④在布尔巴基的成员中，嘉当可能是个例外，他曾在研究爱因斯坦的相对论时发展了联络论(theory of connections)。

参考文献：

[1]CLELAND C E.The concept of computability[J].Theoretical computer science,2004(317):209-225.

[2]贝纳塞拉夫，普特南.数学哲学[C].朱水林，等译.北京：商务印书馆，2003.

[3]LINDSTRM S,PALMGREN E,SEGERBERG K,et al.Logicism,intuitionism,and formalism[M].New York:Springer,2009:449.

[4]GILLIES D.The revolution in mathematics[C].Oxford:Clarendon Press,1992:46.

[5]BARTOCCI C,BETTI R,GUERRAGGIO A,et al.Mathematical lives protagonists of the twentieth century from Hilbert to Wiles[M].New York:Springer,2011:125.

[6]BOURBAKI N.The architecture of mathematics[J].The American mathematical monthly,1950,57(4):221-232.

[7]布尔巴基.数学的建造[M].胡作玄，等译.南京：江苏教育出版社，1999.

[8]RECK E H,PRICE M P.Structures and structuralism in contemporary philosophy of mathematics[J].Synthese,2000,125(3):341-383.

[9]赛德曼.后现代转向[M].吴世雄，译.沈阳：辽宁教育出版社，2001：333.

[10]ANACONA M,ARBOLEDA L C,PREZ-FERNNDEZ F J.On Bourbaki's axiomatic system for set theory[J].Synthese,2014,191(17):4069-4098.

[11]ATIYAH M.Mathematics in the 20th century[J].NTM international journal of history & ethics of natural sciences,technology & medicine,2002,10(1):25-39.

[12]MATHIAS A R D.The ignorance of bourbaki[J].The mathematical intelligencer,1992,14(3):4-13.

[13]ERNEST P.Social constructivism as a philosophy of athematics[M].New York:State University of New York Press,1998.

[14]邓东皋，等.数学与文化[M].北京：北京大学出版社，1990：230.

[15]GUEDJ D.Nicholas bourbaki,collective mathematician an interview with claude chevalley[J].The mathematical intelligencer,1985,7(2):18-22.

[16]BOURBAKI N.Foundations of mathematics for the working mathematician[J].The journal of symbolic logic,1949,14(1):1-8.

[17]CARTE J.Structuralism as a philosophy of mathematical practice[J].Synthese,2008,163(2):119-131.

[18]SELDIN J P.Curry's formalism as structuralism[J].Logica universalis,2011,5(1):91-100.

[19]BRADIN K.David Hilbert:Philosophy,epistemology,and the foundations of physics[J].Metascience,2014,23(1):97-100.

[20]HERMANN R.Mathematics and bourbaki[J].The mathematical intelligencer,1986,8(1):32-33.

[21]DIEUDONN J.The concept of "rigorous proof"[J].The mathematical gazette,1996,80(487):204-206.

[22]THURSTON W P.On proof and progress in mathematics[J].For the learning of mathematics,1995,15(1):29-37.

[23]JAFFE A,QUINN F."Theoretical mathematics":toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics[J].Bulletin AMS,1993,29(1):1-13.

[24]JAFFE A.Proof and the evolution of mathematics[J].Synthese,1997,111(2):133-146.