一堂课讲清非线性动力学、混沌、分型、网络科学、复杂系统的区别和联系

原创刘思达集智俱乐部

如果你和我一样，对非线性动力学（Nonlinear Dynamics）、混沌（Chaos）、分形（Fractals）、网络科学（Network Science）、复杂系统（Complex Systems）感兴趣，但是有时候却觉得他们都差不多是一回事，搞不清之间的区别，那么这堂Strogatz教授的课不仅可以告诉我们这些概念是什么意思，还可以从历史角度介绍他们的发展，以及数学上他们之间的明确联系。

那么谁是Strogatz教授呢？某卖书的网站上对Strogatz教授的介绍是这样的：

Steven H. Strogatz，美国艺术与科学院院士，康奈尔大学应用数学系 Schurman 教授，国际非线性动力学专家，主要研究领域是非线性动力学与复杂系统，目前已发表论文200多篇，其著作被引用次数达到16300多次。

Strogatz教授曾获得麻省理工学院高教学奖以及数学普及终身成就奖等荣誉，他的关于多种非线性系统的研究已被 Scientific American,Nature, Discover, Business Week 以及 The New York Times 等作为特辑报导。

是不是觉得很牛逼但然并卵，那我只能讲大家熟悉的一件事了：

当Watts提出著名的“六度理论”引爆社交网络的时候，他是基于自己在1998年发表的一篇Nature论文《Collective dynamics of 'small-world' networks》。那时Strogatz是Watts的导师，这篇论文的第二作者。这篇论文的引用量是37257，物理学领域所有论文按引用量排名第六。

他的笑容

进一步了解他，可以访问个人主页：http://www.stevenstrogatz.com/

这门课是康奈尔大学的MAE 5790，看编号可以知道，这是机械与航空航天工程学院（MAE）的一门研究生一年级级别的课程（5XXX）。课程名称：Nonlinear dynamics and chaos。

课程视频地址：
https://www.youtube.com/watch?v=ycJEoqmQvwg&feature=youtu.be

如果你现在能挤出一个半小时，我建议直接点开这门课的第一堂概述课，听Strogatz教授本人跟你娓娓道来。

视频：他的第一课

如果暂时没空，那么请让微臣帮忙总结一下。后面的内容约10分钟读完。

为了配合这门课，Strogatz教授写了一本同名教材，现在是第二版。（有中文版，但据说翻译不地道，有基础的同学建议直接读原版）

Nonlinear dynamics and chaos

后台回复Strogatz获取本书PDF下载链接地址。

本书的第一章，Overview，对应的就是这堂课的内容。大师的Overview课是非常有价值的，比起具体技巧，大师比我们凡人强得多的更是眼界。那就让Strogatz教授带我们开开眼界吧。

动力学发展的历史

十七世纪中期（mid-1600s），牛顿到达他的学术巅峰——发明微积分、发现牛顿三定律和万有引力、解释行星围绕太阳运动，也就是二体运动（2-Body Motion），行星和太阳二体。之后牛顿仰慕者们希望将二体运动扩展到三体运动时，但是由于三体运动太难计算，他们一直卡住没有什么进展。

一卡卡到了十九世纪晚期（late-1800s），因为定量研究走不通，Poincaré提出从定性角度去研究三体运动，使他成为了窥见混沌（Chaos）的第一人。他从确定的公式出发，发现了能够产生不循环的、对初始条件敏感的行为，从而认为无法通过计算长期的精确预测三体运动的结果。

但是他的研究成果当时并没有引起大家的注意，直到二十世纪中期（mid-1900s）之前，动力学还是基本围绕非线性振子（Nonlinear Oscillator）以及它在物理和工程领域的应用发展的，主要应用在无线电、雷达等方面。

到了1950s，计算机开始出现，人们可以用计算机来模拟动力学系统进行实验。

1963年，Lorenz在使用计算机来模拟大气系统，研究天气预测的时候，发现简单的几个因素复合就产生了一种神奇的现象，这个动力系统不会稳定下来变成周期性或者静止的点，而是一直以一种非周期性的不规则的方式震荡，蝴蝶形状的Chaos图形就是在他的实验中得到的。

混沌和非线性

1970年后，混沌理论有了长足的发展，Ruelle和Takens研究了扰流（Turbulence）的触发；May则在生物学领域提出用混沌来解释人口增长模型，让大家理解到了非线性的重要性和用线性来简化产生的问题；物理学家Feigenbaum则发现了在不同领域、不同特征的系统，往往发展出相似的混沌系统，提出这是一个普适的定律（Universal Law）。

同样在1970s，Mandelbrot发现了分形（Fractal），直到现在爱好者们还在用计算机画出漂亮的无限Zoom in的Mandelbrot分形。

1980年后，混沌理论开始成为热门研究。

书中给出表格：

A Capsule History of Dynamics

动力学的数学逻辑结构

小心，这里要出现数学公式了。

为了把现实世界的运动归类，Strogatz教授提出可以根据两个指标：一个是动力学系统维数，也可以称为阶数，就是系统涉及变量个数，另一个是这个运动是线性的还是非线性的。

那我们先来看看他是怎么用数学来描述系统。

例1：牛顿物理中的一个匀速运动的物体。

根据初中学过的知识，我们知道这个物体的速度v是恒定的，不管物体运动到哪里。我们可以画图，纵坐标是速度v，横坐标是物体的位置。

例1

这里的速度v，实际就是dx/dt，就是这个物体的位置的变化率，按照牛顿对导数的记号方法，用x上面加一点表示。

这样这个系统的数学公式就是：，其中a是一个常数。

这个公式里，有一个变量，，Strogatz教授称这是一维的；然后等式右边不包含任何平方、变量相乘、或者以变量为输入的函数，他称这是线性的。也就是这是一个一维线性系统。

例2：牛顿物理中的一个受作用力加速运动的物体。

纵坐标是物体的速度v，横坐标是物体的位置x，我们可以画图：

例2

按照上面的约定，我们可以写出这个系统的数学公式：，其中a、b是常数。所以这个系统也是一维线性系统。

例3：Damped oscillator。一个物体以一定的初速度，在有阻力的情况下随弹簧振动慢慢停滞的运动。

纵坐标是物体的速度v，横坐标是时间t，我们可以画图：

例3-1

来源：http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda.html#c1

Damped oscillator的运动公式：

例3-2

假设 ,

那么，

上面两条和的公式，就是描述这个系统的数学公式。通过这组公式可以看出，这个系统是二维的线性的系统。

例4：Pendulum。一个物体在摆动。

，也可以写成，

假设，那么

通过这组公式可以看出，这个系统是二维的，同时因为右侧有变量x1输入sin函数，所以这个系统是非线性的。这是一个二维非线性系统。

用动力学的视角看世界

给出了系统的维度（或者说阶数）的定义，再给出了线性非线性的定义之后，我们就可以把这个世界的运动进行分类了。Strogatz教授给出了一张大图：

A Dynamical View of the World

这图在上课时候写在黑板上是这样的：

黑板上的A Dynamical View of the World

这就是Strogatz教授对世界上的运动的归类的理解。

第一行是线性系统，我们就先不关心了，第二行是非线性系统，从一维（n=1）到二维到三维，这三部分就是这本书主要教授的内容。

而这张图的右下角，当n很大（n>>1）的时候，就是Network Science研究的领域，如果n是连续的话，这时就是广义相对论、扰流等研究的领域，整个右下角，统称为Complex Systems。也就是说，在理解了Chaos的数学表达之后，再将变量从3扩展到几万几亿个，就可以称之为Network Science了。