麦克斯韦方程和规范理论的概念起源

杨振宁(诺贝尔物理学奖得主，清华大学高等研究院名誉院长)

人们通常认为库仑（Charles Augustin de Coulomb）、高斯（Carl Friedrich Gauss）、安培（André Marie Ampère ）和法拉第（Michael Faraday）分别发现了电学和磁学中最基础的力学规律，而麦克斯韦（James Clerk Maxwell）做的只是将这些规律的数学表达最终总结成一套具有高度统一性和对称性的方程——麦克斯韦方程。可是我觉得，麦克斯韦的贡献远远不限于将已有的电磁学规律加以总结。麦克斯韦在方程中对几何和对称性的微妙物理直觉不仅推翻了十九世纪“场是超距作用”的错误认识，更在二十世纪直接推动产生了具有高度统一性的粒子物理标准化模型。

人类对电与磁的探索始于十九世纪。1820年，奥斯特（Hans Christian Oersted，1777—1851）发现电流可以导致附近的小磁针运动，这个发现让整个欧洲为之振奋。最终安培（1775—1836）将之归结为“超距作用”理论。彼时英格兰的法拉第（1791—1867）也在同一领域进行研究，但其数学基础略逊一筹。1822年，法拉第在一封给安培的信中写道：“我觉得我的数学知识太匮乏，所以我难以理解抽象的推导而只能专注于发现和总结具体的实验事实”。（参考文献[1]）

法拉第是一位依赖直觉的实验物理学家。从1831年到1854年，他将观测的实验事实总结成三卷著作，是为《电学的实验研究》(图1)。不同寻常的是，三卷本不朽巨著里竟然没有一个公式。法拉第用他超乎寻常的语言能力和几何直觉，用平实的语言记载了物理规律和数学理论。

图1 法拉第的《电学的实验研究》三卷分别发表于1839、1844和1855年。右侧为法拉第的手稿，写于1831年10月17日，那天他发现，在螺线管中移动磁铁时，螺线管会产生电流。他因此发现了电磁感应现象，这一定律最终成为我们今天制造大大小小发电站的理论依据、并推动人类科技水平长足的进步。

图2　法拉第画像。插图摘自1831年10月17日法拉第发现电磁感应的手稿。

在《电学的实验研究》一书中，法拉第系统地探索了各种各样的电磁感应实验。例如，他尝试用不同种类的金属制造螺线管，将螺线管浸泡在不同的介质中，用两个螺线管来进行电磁感应等等。他痴迷于两个实验现象，第一个是他发现磁铁必须被移动才能在螺线管中产生电流，第二个是感应的方向似乎垂直于磁场的方向。

法拉第感觉自己似乎理解了电磁感应，进而引入两个几何概念：磁力线和电紧张态。前者可以通过将铁屑放在螺线管和磁铁旁边被直接观测到。这些力线在今天的物理课本中通常用H来表示，称为磁场。而电紧张态 ，却始终未在《电学的实验研究》一书中有更清楚直观的定义。这一概念即使首次出现在第一卷的第60节时也无清楚的定义。在随后的章节中，电紧张态又被频繁赋予各种其他的名字，诸如特殊态、强度态、特殊状态等等。例如在第66节中法拉第称：“所有的金属都有特殊状态。”在第68节中写道：“这种态是瞬间产生的。”我们在《电学的实验研究》第1114节还读到——

“当我们试图将电与磁认为是统一事物的两面时，或者当作一种奇特的可以在垂直方向相互作用的物体时，我直观地觉得这两种状态或者物质是可以相互转化的。”

直到1854年法拉第在63岁去世时，他所提出的几何直观以及电紧张态都缺乏清晰的定义。

走进麦克斯韦的世界

1854年，麦克斯韦（1831—1879）毕业于著名的三一学院，那时他是一名对物理充满激情的年轻人。刚刚毕业的麦克斯韦对电磁学有着极大的兴趣，并写信给时任格拉斯哥大学自然哲学系主任的汤姆森（William Thomson）：

“假设一个人有一些对电学的基本认识，但是想进一步了解电磁学，他应该以什么顺序和方式研读安培和法拉第的著作呢？他应该怎样研读您在剑桥杂志上发表的论文呢？”(文献[2])

汤姆森（1824—1907，后来的开尔文爵士）当时极具影响力。麦克斯韦咨询他是明智的选择，因为早在1851年汤姆森就引入了矢势A的概念来表示磁场H:

方程1。

这个方程对麦克斯韦产生了巨大的影响。

我们无从考证汤姆森如何回复此信，但仅一年后，麦克斯韦就发表了其改变人类电磁学历史的三篇著作中之第一篇，其中，麦克斯韦基于方程1给出法拉第所谓电紧张态的数学描述。麦克斯韦的三篇著作于1890年被尼文（William Davidson Niven）整理为两卷本《麦克斯韦的科学论文》。

麦克斯韦的第一篇论文发表于1856年。它虽然满含公式但却比法拉第的《电学的实验研究》更加易懂。该文的核心是第二部分，名为“法拉第的电紧张态”。第204页有电紧张态的数学描述，用今天的向量表达可以写为：

方程2。

这里Ａ指法拉第的电紧张强度。

在第207页，麦克斯韦用文字描述了上述公式：

“第六定律－任何导体上的电动力决定于电紧张强度的变化率，这一变化既可以是强度大小又可以是方向。”

在我看来，利用汤姆森的矢势Ａ的概念对法拉第提出的电紧张态进行数学定义是麦克斯韦科研生涯中第一个概念上的突破。如果对方程2两边取旋度，我们可以得到现在广为人知的法拉第定律之数学表示，

方程3。

或者同一方程的另外一种积分形式：

方程4。

麦克斯韦当时并未将法拉第定律写成方程3或者方程4的形式，因其主要目的是为法拉第的电紧张态寻找准确的数学定义。而矢势A的概念却从此贯穿麦克斯韦一生的思维方式和理论体系。

麦克斯韦很快意识到，与其他物理量不同的是，在方程1—3中，矢势A可以被任意加上一个散度为零的矢量而不影响最终的计算结果和实验观测，《麦克斯韦的科学论文》一书第198页中的定理五对这一规范自由度进行了讨论。那么麦克斯韦究竟为方程1—3中的A选择了怎样的规范呢？他在书中未触及。我揣摩麦克斯韦暗示存在一种对Ａ规范，使得方程1—3被同时满足。

麦克斯韦当时也一定意识到用汤姆森的矢势概念来定义法拉第的电紧张态是很重要的。但为避免汤姆森不必要的误解，麦克斯韦在第一篇论文的第二部分称：

“针对当前理论的历史背景，利用文中的数学函数描述法拉第电紧张态，并以之计算电动势和电动力，是具有独创性的。不过，最初关于可用数学表达来描述电磁学现象之理念来自于汤姆森教授的论文。”

麦克斯韦的“涡旋”

在第一篇论文完成五年后，麦克斯韦发表了他三篇著作中的第二篇论文，它分成四部分在1861年—1862年间陆续发表。与第一篇论文相比，这篇论文显得极为晦涩难懂。麦克斯韦试图通过引入“涡旋”模型的概念来解释和统一电与磁。他认为电磁现象是由无数个微小、看不见、又不停旋转的物质所引起，他称之为“涡旋”。这些“涡旋”的旋转方向和外磁场的方向一致（《麦克斯韦的科学论文》第489页）。

图 3“涡旋”模型示意图，摘自《麦克斯韦的科学论文》第488页。“涡旋”六边形周围的箭头方向错了，估计为做图时笔误。

麦克斯韦为“涡旋”作了一幅示意图（图3），并且在《麦克斯韦的科学论文》中第477页给出了如下的描述：

“在PLATE VIII中，令AB表示从A流向B的电流。在AB上方和下方的空间表示涡旋。令分开涡旋的小圆圈代表表示电流的粒子并且令电流从左向右流动。在AB上方的涡旋gh将会产生逆时针旋转。我们称逆时针方向为正，而顺时针方向为负。假设涡旋ｋｌ仍处于静止状态，那么这一层上的粒子将会在gh的下方产生作用，而在上方将会静止。如果它们皆可自由运动，它们将沿负方向旋转，并同时从右往左移动。所以感应电流的方向与初始电流AB相反。”

麦克斯韦在第二篇论文的第二部分详细描述了这一模型，发表在1861年4月出版的《哲学杂志》第21卷。麦克斯韦当时显然十分投入其“涡旋”理论，用了11页长篇大论此模型。

1862年发表第二篇论文的第三部分，其标题为：“分子涡旋理论在静电学的应用”。通过长达七页的分析，麦克斯韦推导出其命题14：“为了纠正由于介质弹性对电流的影响”（《麦克斯韦的科学论文》第496页）。一个额外的纠正项（4πj）在安培定律中被加到与位移电流一起。

我曾多次试图理解麦克斯韦在此论文中所提“空间介质的弹性”的概念，但皆以失败告终。值得一提的是“位移”的概念在第二篇论文第二部分的最后11页中仅出现一次，而且是在无关紧要的语境中。不过此概念在第三部分前7页频繁出现并且成为麦克斯韦理论的核心。这两部分发表时间相距仅8个月，似乎在这短短8个月时间里麦克斯韦找到了“涡旋”模型的新特性，从而产生了“位移”概念。

基于命题14，麦克斯韦很快预言了电磁波的存在。通过推导，麦克斯韦计算出电磁波的速度就是光速。他如此阐述这一结论：“光波所含横向介质振动是与电磁现象的产生原理相同的。”（《麦克斯韦的科学论文》第500页，斜体为麦克斯韦本人所加。”）

有趣的是，麦克斯韦乃极为虔诚的教徒，我猜想他在祷告时也许祈求上帝宽恕其发现造物主创造光的秘密。

麦克斯韦三篇著作的最后一篇发表于1865年，其中他总结归纳了著名的麦克斯韦方程。虽然如今麦克斯韦方程由四个矢量方程构成，麦克斯韦在最初的论文中用了20个方程描述电磁现象，因为他当时把这些方程写成分量形式，并包含了电介质和电流方程。

这一论文的意义远超过电磁学本身，它同时为以后的场论发展提供了最为重要的理论基础， 即“世界上的能量储存于场中”。 麦克斯韦在其论文中写道：

“谈到场的能量，我希望读者能清楚地理解这一概念。所有的能量和机械能都一样，不管它以运动、弹性抑或其他的形式存在。电磁现象的能量就是机械能。唯一的问题是，这些能量存在于何处？根据旧的理论，这些能量以不为人知的势能方式存在于带电体中。它们可以形成电路、磁铁等等并可产生超距作用。在我们的理论中，这种能量存在于电磁场中，而这种场存在于带电体或带磁体中，也存在于它们周围空间的电磁场中。这种能量以两种形式存在，即电极化和磁极化。如果提些很有可能成立的假设，这种能量存在的形式是以太介质运动的应力（《麦克斯韦的科学论文》第５６４页）。”

可是为了与当时科学主流保持一致，麦克斯韦又写道：

“我们因此有理由相信，在光和热的现象之中，必然有一种以太介质无处不在且可以渗透各种物体。这种介质可以运动也可以将自己的运动从一个地方传递到另外一个地方，并且将有序的运动以某种形式转化为热能。（《麦克斯韦的科学论文》第528页）。”

麦克斯韦意识到他在前两篇论文中提到的位移电流的概念和光的电磁波属性的概念是极为重要的发现。所以他在第三篇论文再次归纳了这两个概念的数学描述。可是此时，似乎麦克斯韦本人也意识到“涡旋”概念的不合理，所以在这篇论文中，他再也没有试图用“涡旋”来解释电磁现象。因此我们可以合理地假设，在1865年，麦克斯韦已经不再认为“涡旋”模型是一个必不可少的解释电磁现象的概念。不过当时他仍然坚持“必须存在一种以太介质，它无处不在并且可以渗透物体。”

1886年，赫兹（(Heinrich Hertz，1857—1894）用实验证明电磁波的存在，用他设计的电路成功地发射、接受到了电磁波。

在十九世纪80年代，亥赛维（Oliver Heaviside，1890—1925）和赫兹分别发现可以去掉麦克斯韦方程中的磁矢量势Ａ。这一简化使麦克斯韦方程更好地展现电与磁的对称之美。当然我们今天知道，在量子力学的框架中，不能去掉磁矢量势Ａ，因其可在阿哈罗诺夫—玻姆(Aharonov-Bohm) 效应中被观测到。

二十世纪场论的发展起源于爱因斯坦于1905年提出的狭义相对论。爱因斯坦从概念上摒弃了困扰理论物理界多年而且并不正确的“以太”，并提出电磁波本身就是一种看得见摸得着的介质。真正的真空指无实体粒子、亦无电磁场的时空。真空概念的提出解决了1887年由迈克耳逊－莫雷实验（Michelson-Morley）而引出的物理疑团。当时这一实验的目的是寻找“以太”，但以失败告终。可是，当今物理学界认为，爱因斯坦之所以提出真空的概念并不是为了解释迈克耳逊－莫雷实验，而是为了正确地解释物理中“同时性”这一基本概念。

从1930年到1932年，随着实验物理学家发现质子，科学家广泛采纳狄拉克提出的“真空是由无限负能量的粒子组成”的概念，并最终演变成名为“量子电动力学”的重要理论。20世纪30年代，量子电动力学在低级近似计算中取得成功，但却由于其中存在对“无穷大”的定义，使得其在高级近似计算中并不成功。

1947年—1950年，随着一系列理论和实验物理学的突破，量子电动力学在被进行重整化修正后成为当时最为精确的计算粒子物理电磁性质的理论。最新的报道显示，利用量子电动力学计算的电子反常磁矩与实验值的偏差只有十亿分之一（(文献[3]，Quick Study by Gerald Gabrieslse, Physics Today, Dec 2013, p64）。

随着重整化方法在量子电动力学中的成功，以及众多新的基本粒子的发现，物理学界开始通过拓展场论的方法来解释粒子之间的相互作用。虽然那个时代物理界发表了大量的研究成果，但均未能推动根本性地理解粒子间的相互作用。那一时期的热点包括，带有矢量相互作用的标量介子理论、带有赝矢量相互作用的赝标量介子理论等等。当时也有物理学家在场论的范畴之外试图解释这些相互作用，但这些努力均未产生突破性的进展。

从20世纪70年代开始，物理学家开始重新对场论感兴趣。这其中最为重要的理论当数起源于麦克斯韦方程的“非阿贝尔”规范理论。这里的“非阿贝尔”指的是，一个群中，不同操作发生的前后顺序不能够被交换（我曾在”Einstein’s impact on theoretical physics”, Physics Today, 1980 p42一文中讨论规范理论。如果读者对更多的技术细节感兴趣，可以参阅Physics Today, Mar 1982, p41）。迄今，规范理论被理论物理学界认为是解释物质结构和相互作用的根基。其现代描述可以追溯到数学家外尔（Hermann Weyl）于1918年至1919年发表的三篇论文。其中可见，外尔深受爱因斯坦对电磁场几何性的启发。(文献[4])。

外尔的理论完全基于他对平行位移重要性的深刻理解。他说：“黎曼几何的发展如果要符合于自然界的规律，那么必须基于矢量的无限小位移。”外尔进一步考虑，如果在矢量的无限小位移中它的方向发生改变，那么为什么其长度不能发生改变？因此外尔提出了不可积的伸缩因子的概念，并且通过下面的方程成功地与电磁场联系起来：

方程5

这里Ａµ是一个四维矢量势，而系数γ为实数。外尔将伸缩因子赋予给每个带电物体在时空中的运动。爱因斯坦批评外尔在三篇论文中的第二篇里提出的位移的长度改变的概念。当时，外尔并不能合理回答爱因斯坦的批评。

随着1925年—1926年的量子力学的发展，福克（Vladimir Fock）和伦敦（Fritz London）分别指出在新的量子力学体系中，传统的(p-eA)应该被改写成：

方程6

与方程5相比，eAµdxµ/γ被ieAµdxµ/ћ取代，也就是说γ被-iћ取代。

外尔显然接受了γ应该是虚数的概念。他于1929年发表了一篇重要论文，定义了量子电动力学中的规范变换，并且证明在这种变换下麦克斯韦方程在量子力学中是不变的。

在规范变换下，外尔定义的伸缩因子可以被改写成：

方程7

很明显，从方程7我们可以看出，这个因子实际上是一个相位变化因子。这一改变，也让爱因斯坦早先的批评不辩自破。

1905年—1907年，分别发现洛伦兹不变量的爱因斯坦和明科夫斯基（Herman Minkowski）最早发现蕴含在麦克斯韦方程中的高度对称性。外尔于1929年发现麦克斯韦方程在规范变换下的不变性，揭示了麦克斯韦方程的另一个重要对称性。今天，我们意识到麦克斯韦方程中的对称性正是当代物理学的基石。

外尔的规范变换涉及一种理论界名为U(1)的在复数空间中的几何转动 ——这一转动与之前麦克斯韦所提出的“涡旋”的概念有惊人的相似。从数学上来说，方程7中的相位因子形成了一个名为U(1)的李群，而李群正是外尔最为感兴趣的研究方向之一。更进一步，对于那些更为专业的读者，一种名为“纤维丛”的理论在1929年之前就已经发展成型。然而，外尔当时并没有意识到电磁现象本身就是一种U(1)束理论，并且本该能够在1929年将它推广成非阿贝尔规范理论。

事实上，这一推广发生在1954年，引发这一推广的并非数学，而是因为当时粒子物理学界不断发现新的粒子，所以他们急需一种理论来解释不同粒子的相互作用。这种强烈的需求在以下一段发表于1954年的摘要中有清楚的体现：

“电荷是电磁场的起源。这一现象中的重要概念是规范不变量，而规范不变量与以下几个方面相关（1）描述电磁场运动的方程，（2）电流密度，（3）带电的场与电磁场之间的相互作用。我们曾试图通过扩展规范不变量的概念来解释同位旋守恒。” (文献[5])

这一推广产生的非阿贝尔场论在数学上极为完美，但却多年无法得到物理学家们的认可。这是因为，这一理论要求存在一种不具有质量但却带电荷的粒子。

随后为了给非阿贝尔场论中的无质量粒子赋予质量，理论物理学界于上世纪60年代引入了自发对称破缺的概念。这一概念最终产生了一系列重要的理论突破，包括利用U(1)xSU(2)xSU(3)规范来统一弱相互作用、电磁相互作用和强相互作用的标准化模型。从1960年开始，国际理论和实验物理学界逐步对标准化模型进行验证。其中最为引人注目的当属2012年在CERN发现的上帝粒子——“希格斯玻色子”。有数千名物理学家参与这一实验（Physics Today, Sep 2012, p12）。

尽管标准化模型取得了惊人的成就，但它并非最终的理论。首先，这个理论包含众多人为添加的常数。更重要的是，其基础——对称破缺机制仅仅是一种唯象的概念。费米对beta衰减的“四势相互作用”的解释从1934年开始主导理论界达40年(文献[6])，它最终还是被更加深刻的基于U(1)xSU(2)规范的弱电统一理论所取代。

规范自由度早在十九世纪50年代就被麦克斯韦和汤姆森所意识到。甚至可能更早法拉第已凭借自己的物理直觉注意到这一现象。最终，数学家外尔于1929年将麦克斯韦方程中的规范自由度与量子力学统一起来，并为当今规范化模型奠定了基础。

麦克斯韦方程是线性的。在非阿贝尔规范理论中，方程是非线性的。这种非线性从概念上来说与广义相对论中的非线性具有相同的来源。关于广义相对论中的非线性问题，爱因斯坦曾说：

“我们仅仅考虑纯引力场的数学表达。

这些方程的奇特性一方面在于其复杂形式，尤其是其场量和微分的非线性。另一方面，这一复杂性又是极为必要的，因为是变换群决定了场论的复杂性。（文献7，p75）。

因此，真正的理论必然是非线性的（文献7，p89）。”

二十世纪前半叶，数学家们完全独立地提出了名为“纤维丛”的理论。这一理论有众多源头，包括卡坦（Élie Cartan）的微分形式、豪泰林（Harold Hotelling）的统计学、惠特尼（Hassler Whitney）的拓扑学、陈省身的整体微分几何、埃尔斯曼（Charles Ehresmann）的联络理论。如此多样的起源表明纤维丛理论是当时数学发展的核心。

在二十世纪70年代，物理学家和数学家惊讶地发现阿贝尔和非阿贝尔规范理论均与纤维丛理论不谋而合（文献[8])。当然，大家乐于接受这一发现，因为它生动地诠释了数学与物理的紧密联系。这一联系曾在二十世纪中叶，由于理论数学的不断抽象化而被短暂地中断。

在1975年，在我的数学同事赛蒙斯（James Simons）发现纤维丛理论并非必要时，我拿出一篇狄拉克于1931年发表的讨论磁单极子的论文给他看。他惊讶道：“原来狄拉克在数学家之前就发现了平凡和不平凡的纤维丛的概念。”

最后我想以一段麦克斯韦发表于1867年对法拉第去世的悼词来结束我们的历史回顾。麦克斯韦写道：

“法拉第使用假想力线的方法来解释电磁感应，说明他实际上是一位具有高度智慧的数学家”；

“从欧几里德的直线到法拉第的力线，这一切说明了动态和几何的思维不断推动科学的发展与进步”；

“以今天收集到的科学证据为基础，也许下一位如法拉第般伟大的哲学家能发展出全新的科学，而我们今天很可能对此一无所知”。

文献：

1. F. A. J. L. James, ed., The Correspondence of Michael Faraday,Vol. 1, Institution of Electrical Engineers (1991),p. 287.

2. J. Larmor, Proc. Cambridge Philos. Soc. 32, 695 (1936),p. 697.

3. T. Kinoshita, in Proceedings of the Conference in Honour ofthe 90th Birthday of Freeman Dyson, K. K. Phua et al.,eds., World Scientific (2014), p. 148.

4. For this and the ensuing history, see C. N. Yang, in HermannWeyl, 1885–1985: Centenary Lectures, K. Chandrasekharan,ed., Springer (1986), p. 7; and A. C. T. Wu,C. N. Yang, Int. J. Mod. Phys. A 21,3235 (2006).

5. C. N. Yang, R. Mills, Phys. Rev. 95, 631 (1954).

6. An English translation of Fermi’s original paper isavailable in F. L. Wilson, Am. J. Phys. 36, 1150 (1968).

7. P. A. Schilpp, ed., Albert Einstein: Philosopher-Scientist,Open Court (1949). The two passages are English translationsof Einstein’s autobiographical notes written in1946 when Einstein was 67 years old.

8. T. T. Wu, C. N. Yang, Phys. Rev. D 12, 3845 (1975).

英文版发表于Physics Today（2014年11 月，45—51 页)，《赛先生》中文版由胡凌志（华盛顿大学理学博士，飞利浦电子北美研发中心分子影像科学家）翻译。摄影：李晓明。