关于LDA, pLSA, SVD, Word2Vec的一些看法
本文纯属搞笑！！
Topic Model (主题模型）这个东西如果从99年Hofmann的pLSA开始算起，得火了有近20年了。这20年里出现了很多东西，这篇文章不准备对这些东西做细致的介绍，而是谈谈个人对这些模型的一些看法。首先，我先阐明观点，就是这些东西虽然看起来很不一样，但是在某一层面的本质上看差不太多。
因为我是做推荐系统的，我就从推荐系统这个角度去说吧。2009年参加Netflix Prize的时候，当时解决的是一个评分预测的问题。也就是每个用户给电影打了1～5分，然后让你去预测一个用户对一个电影会打多少分。这个时候就遇到一个矩阵，叫做user-item矩阵。这个矩阵中大量的元素都是missing的，而不missing的哪些pair都有一个1～5分的分数。整个比赛的目的就是去预测那些missing的pair如果不missing会是多少分。
在Netflix Prize之前，这个问题都是这么解决的，首先把missing的值都填上3分（也有其他策略，但这不是本文的重点），然后把user-item矩阵做SVD分解，选取最大的K个特征值对应的特征向量组成的矩阵，然后再乘起来。这个时候，那些missing的pair都变成了其他的分数，这个分数就是预估值。在Netflix Prize这个方法能work的原因是当时只有一个MovieLens数据集，那个数据集只有几百个用户和物品，这么做还是OK的。但到了Netflix Prize，数据集顿时到了几十万维的矩阵，群众们傻眼了，因为SVD分解是个O(n^3)的复杂度。
这个时候有个哥们忽然在Blog上发了一篇文章（他的那篇博客可能是学术论文引用最多的博客文章），说你们不用管那些missing的pair。你们就直接在不missing的pair上用梯度下降法学习user和item的latent factor的表示吧。于是有了那个著名的伪SVD算法：
r(u, i) = <p(u), q(i)>
于是整个Netflix Prize中涌现了一大堆带SVD的算法，比如RSVD，NSVD，SVD++等等。我也发明了几个SVD算法，因为照着这个思路太容易发散了。
但是，我一直觉得Netflix Prize其实误导了整个推荐系统的发展。当然应该说是更早的MovieLens就误导了，只是Netflix Prize没有纠正过来。这个误导就是，评分预测其实不是重要的问题，反而是一个很次要的问题。因为，当人民群众拿着Netflix Prize的算法准备用在自己的系统里时，顿时傻眼了，因为没有评分数据。他们有的只是观看数据，点击数据，购买数据等等。这些数据有一个特点，就是user-item矩阵中所有的非missing值，都是1。而不是Netflix Prize里面的评分。而且人们意识到，评分这件事有2个步骤：
看电影
评分
也就是说，如果用户连电影都不看，他是不会去评分的。于是，预测用户会看什么电影，并把这些电影推荐给他，显然比知道这个用户会看这个电影后，预测他看完会给多少分更重要。
但预测用户会看什么电影时，我们遇到了一个问题，就是如何对一个非missing值都是1的矩阵进行分解。这也是2012年KDD Cup的Track 2提出的问题。
这个时候，人们忽然发现，在NLP领域，做Topic Model时，遇到的doc-word矩阵，和我们遇到的这种user-item矩阵一样，都是非missing值都是1的矩阵（有人会说doc-word矩阵的值是tfidf，但本质上其实就是1）。而那个领域已经提出了2个算法来解决这个问题，就是著名的pLSA和LDA。这两个算法的训练复杂读都只取决于非0元素的个数，和0元素的个数都没有关系。于是很多人开始把这两个算法应用于推荐系统领域（其实之前在Netflix Prize就有人用了，但后来因为那个SVD算法太NB，大家都纷纷搞SVD去了）。
但是在2012年KDD Cup的时候。我们想，我们为什么不在0，1上训练SVD的模型呢？那是因为0太多了（这里0就是missing value）。既然0太多，我们采样吧。比如我们每遇到一个1，就随机采样出N个0，然后用SVD训练。那么我们怎么采样0呢？当时有两种候选：
纯随机的选择，也就是说如果一个用户看过K个item，我们就从所有item中随机选择 NK个他没看过的item作为负样本。
按照item的热门度去选，也就是说如果一个用户看过K个item，我们就从所有item中按照item的热门度随机选择 NK个他没看过的item作为负样本。
第2种更合理。这是因为，对于missing值来说，一个人没有看过一个电影，有两种可能：
他不知道有这个电影
他知道，但不喜欢
而对于热门的电影来说，是2个概率更高（当然这里还存在一种可能，就是他在其他平台上看过了，但这个在整体用户的统计意义上不高）。而我们的模型学习的就是兴趣，所以越可能是原因2的item，越应该作为负样本。这个算法就是Negative Sampling。
到这个时候为止，对于0-1矩阵的分解，我们有了2个武器，一个是贝叶斯学派的LDA，一个是频率学派的矩阵分解。我们知道，贝叶斯学派和频率学派有着各种各样的区别，如果从优化的角度去看，MCMC是贝叶斯学派的模型常用的优化方法，而梯度下降是频率学派常用的。
故事发展到这个阶段时，群众的目光忽然转向了。Topic Model的发展忽然转向了“我们需要更多的Topic”。之前，大家弄个几百个topic就非常高兴了，这个时候忽然有人说，我们要几百万个Topic。据说是因为google有个系统能学50万topic，非常NB。另外大家希望，topic多了就能学习出更多小的topic，表达更小众的语义。于是群众们开始干了。一开始大家是拿LDA开刀的。于是乎，LDA从12年开始，经历了SparseLDA, AliasLDA, LightLDA, WarpLDA的发展道路，到了15年底，已经能非常快的学100万topic了，而且这个快是靠直接降低理论的时间复杂度实现的，代码写的更好只是起了辅助作用。
SparseLDA利用了如果topic很多，那么当模型快收敛时，一个word其实只会属于很少的topic，然后利用稀疏性来加速了算法。但这个算法有个致命的缺陷，就是初始化时，模型并不稀疏，因此迭代的前几轮会非常慢。当然充满智慧的群众发明了一堆奇技淫巧部分解决了这个问题。
AliasLDA是优化了Gibbs Sampling采样的时间复杂度，利用Alias Table让对K个topic采样的时间复杂度从O(K)降低到O(1)。
LightLDA修改了采用的分布，把原来基于一个word doc在topic上联合分布的采样过程，改成了2个交替进行的独立采样过程，一个只依赖word，另一个只依赖doc。
WarpLDA做了更多的工程级别的优化，让LightLDA更快。
但后来，LDA一直没有大规模的火起来。这是因为不幸的又遇到了深度学习这股风，google在2013年提出了word2vec。word2vec本身不是一个很深的模型，他其实就是一个一层的模型。但这个模型的nb之处在于，他是频率学派的，支持梯度法优化，因此这一层可以插入到DL的网络中作为一层，和其他层一起做end-to-end的优化，LDA就没法这么搞。这样，大量的有监督的问题，用上word2vec后，效果顿时就超过LDA了。
word2vec刚出来时，我发现他在优化时用了霍夫曼编码来实现了层次化的SoftMax(HS)。当时我觉得他这么做有2个目的：
减少运算复杂度，如果是普通的SoftMax，其实就相当于在0-1矩阵的所有值上做矩阵分解，没有能利用到矩阵的稀疏性。
倾向于选择热门的item做负样本，因为霍夫曼编码是按照热门度对item编码的，越热门的item离根节点越近。
所以，HS真是太巧妙了。果然不出所料，2014年的时候，有群众提出，那我们直接用Negative Sampling吧。这样程序写起来简单。大家一试，发现效果还不错，并不比HS差，而且代码确实很容易写。
故事发展到这个阶段时，我们总觉得少了点啥。这个word2vec忽然跳出来就抢了LDA的饭碗，那么LDA最后搞的那些把topic提升到100万个的工作，貌似word2vec还没搞啊？我去google了一下，发现群众的智慧是无限的，果不其然，有人发现这个遗留问题了。Facebook的研究人员在一个标题为What's next, word2vec[1]的演讲中明确提出，稀疏表达是word2vec下一个要解决的问题。其实稀疏表达的前提就是topic要多。只有多了，才有可能学习出非常小的topic。
好吧，后面就让我们拭目以待吧。
读后思考：为什么Netflix Prize的评分问题可以只在不missing的value上训练，而不用管missing value？
参考资料：
[1] http://www.machinelearning.ru/wiki/images/d/db/MikolovWord2vecSlides.pdf
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