小编友情提示

本文的读者若对下面的概念不陌生（不需要深入了解），这篇文章对您而言将会非常通俗易懂：

• 向量场

• 李群和李代数

• 流形（高维曲面）和切空间（切向量构成的线性空间）

• 泛函或算子

• 电磁场（传送门）

• 拉格朗日动力学

没有这些基础的读者也不用担心，因为文中含有海量的注释帮助读者们理解这些概念的实质意义。但要完全理解则需花一些功夫进行消化。

前言

本文是笔者与小编合作推出“大自然的基本力”为主题的一系列文章的第六篇，继本系列第五篇文章“带你认识高大上的规范场——从电磁场说起”之后，本文开始具体介绍强、弱相互作用的规范场理论。关于强、弱相互作用我们重点介绍下面两点：

• 非阿贝尔规范场理论（即把上文中的U(1)群变为SU(2)与SU(3)规范场），即强，弱相互作用的规范场理论。这是杨振宁和米尔斯的主要贡献之一，也是二十世纪下半叶物理学最辉煌的成就之一。

• 规范表示不变性原理（Principle of Representation Invariance ，简称PRI），该原理由四川大学马天教授和美国印第安纳大学汪守宏教授在2014 年提出。尽管该原理还需得到时间的检验，但相信该原理的提出能拓宽并加深我们对强，弱相互作用的理解。

本文重点介绍非阿贝尔规范场理论，下一篇文章则会介绍规范表示不变性原理。欢迎有兴趣的读者关注我们的公众号“科普最前线”，并参与和我们的讨论！

“非阿贝尔场”是什么东东？

在本系列的上一篇文章（带你认识高大上的规范场——从电磁场说起）中，我们认识了电磁场，也就是U(1)规范场。从数学的角度来看，U(1)是一阶酉矩阵，矩阵中的元素可以表示为（也就是一个圆圈，我们把圆圈上的每个点都看作是群里的元素——小编注），它们构成的变换群（也就是规范变换群）是可交换的，在数学上把这种变换群称为阿贝尔群（Abel Group），于是它所对应的规范场

（就是电磁场）就被称为阿贝尔规范场，它们的规范变换（“旋转”）是:

其中波函数ψ是单个波函数，它只刻画了参与电磁相互作用的一个费米子。

---

笔者注

在微观的物理世界中构成物质的基本粒子分为两种类型：费米子和玻色子。费米子包括夸克，质子，中子等，它们是构成物质的基本材料，而玻色子则是将这些费米子粘合在一起的“粘合剂”，玻色子包括光子，胶子，W±玻色子，Z玻色子等，它们是相互作用（就是四种基本力）的传递者，通过玻色子传递相互作用使得费米子得以凝聚在一起构成基本物质。读者可以想象费米子是构建大楼的不同类型的砖块，而玻色子则是这些砖块之间的水泥钢筋，它们在组成大自然的物质中发挥了各自不同的作用。

玻色子的自旋都是整数，费米子的自旋都是奇数的一半。图片来自http://blog.sina.com.tw/quantum/article.php?entryid=574521

上述的规范变换显然可以推广到更一般的情况，即存在N 个费米子（或者是一种费米子的几种不同的态，例如夸克的三种色态）参与相互作用，物理上用N 个旋量场（spinor，也就是刻画粒子运动的波函数，它包含四个分量）来刻画这N个费米子，即，而是一个旋量场。

---

笔者注

在量子力学中我们用波函数ψ来刻画一个微观粒子的运动状态及其性质。上诉介绍的旋量场就是用来刻画微观粒子的波函数，考虑到微观粒子具有比薛定谔方程所描述的粒子具有更加精细的结构，所以这种波函数需要四个分量，且每个分量都是复数。

于是上述单个波函数的规范变换可以推广到这种N粒子的形式，就是我们所要讨论的SU(N)规范变换与非阿贝尔规范场（这种情况下规范场对应的矩阵群，也就是SU(N)的群表示是非交换的，数学上称之为非阿贝尔群）。在标准模型中，当N=3时所刻画的相互作用模型就是强相互作用（数字N=3对应夸克的三种“色态”），即强相互作用的SU(3)规范场，当N=2时的SU(2)规范场与U(1)规范场的耦合规范场刻画了电，弱相互作用，即U(1)×SU(2)电弱统一模型。

在上个世纪上半叶物理学家就意识到，在自然界中经常出现粒子的不同的几种态（或者是不同的几种粒子）在某一物理观测中表现出不可分辨的性质（即单纯从物理实验无法区分这些不同的粒子态），例如质子和中子在原子核中的强作用力方面就体现出了这样的性质，夸克的三种色态也表现出这样的性质，更一般的，我们称这是N 个不可区分的粒子态。

就像《风云》中的“绝世好剑”一样，粒子太多，没办法从物理实验中区分出来——小编注

这种“不可区分性”看起来有点让人摸不着头脑，那么怎么用物理语言来描述它呢？事实上就是刻画这个粒子的运动方程（狄拉克方程）在特定的变换下是形式不变的，例如，这N 个粒子态的不可区分性用数学的语言来表达就是这N个粒子态的波函数（N个旋量场）在如下SU(N)的规范变换（也就是李群SU(N)的群作用）下

关于这些ψ（波函数）的运动方程，即狄拉克方程 是形式不变的。

狄拉克方程就是考虑了狭义相对论和费米子自旋的薛定谔方程，它被用于描述费米子的运动——小编注

---

笔者注

SU(N)是一个李群，群中每个元素都可以看作N×N埃尔米特矩阵（Hermite Matrix）。所谓N×N阶埃尔米特矩阵Ω就是: ，其中 是Ω转置再取复共轭。由此我们便看出了上述SU(N)规范变换实际上就是旋量场ψ的保范变换，即 ，变换前后旋量场ψ的模长（范数）保持不变。

数学补充——李群和李代数是什么？

在数学家看来，SU(N)作为李群，它可不仅仅是矩阵群那么简单——它同时也是一个维的弯曲的流形（就是一个高维的曲面）！笔者在这里简单陈列一些SU(N)的数学性质，这些都是来自数学的结论，读者无需关注细节，只需要知道如何在物理问题中应用这些结论即可。

李群、李代数也可以长得像曲面、切向量一样——小编注

我们现在将SU(N)视为高维的曲面，那么对于任意 ，用表示SU(N)在处的切空间。在数学上我们称这个切空间为李代数（Lie Algebra），它是一个维的线性空间，其基底是 个线性无关的埃尔米特矩阵，即

在物理中，我们称这些李代数的基底是规范场的表示元，原因在于它们确实可以被用来表示规范场[1,2]，是规范场中最基本的物理量，就如同我们中学时所学的向量需要通过坐标系来表达一样。当N=2的时候，这一组基底在标准模型中取用3 个泡利矩阵表示；当N=3的时候，这一组基底在标准模型中取用8 个盖尔曼矩阵表示。这两种矩阵是我们讨论强，弱相互作用时要使用的，它们如下图所示：

---

笔者注

表示元基底的选取方法并不唯一，实际上可以构造出无穷多组可以使用的表示元基底，物理学上直接使用泡利矩阵和盖尔曼矩阵作为表示元基底纯粹是出于应用的方便，因为这两种基底具有非常简单的形式，但绝不能认为只能选用这两种基底。

在数学上，李代数具有代数结构，也就是说李代数中任何两个元素的李括号运算。直接计算上述基底可有：，其中被称为结构常数，它依赖于基底的选择。

李群和李代数有了上述数学理论作为基础，我们可以继续介绍相互作用的规范场理论了。

规范场——从交换到非交换

我们已经知道，SU(N)规范场是由N个波函数和个四维向量场（以下记为）构成，这些波函数满足如下狄拉克方程（如前文所说，狄拉克方程就是考虑了狭义相对论和费米子自旋的薛定谔方程）：

其中是协变导数（在数学上又叫联络），而就是上述所介绍的李代数的基底。为了确保上述方程在SU(N)规范变换

下保持协变（方程形式不变），也必须得发生相应的变化，如下所示：

这就是SU(N)规范变换，就是SU(N)规范场！它是我们一开始介绍的电磁场规范变换的推广，推广后的规范场既可以被用来研究强，弱相互作用。我们可以把电磁场规范变换和上述变换进行对比：

读者可以自己验证上述简单的计算，上述变换只是为了确保了Dirac方程的形式保持不变，即

当波函数发生变换时，的变换保证了狄拉克方程的形式保持不变:

波函数：就算我带上了“帽子”，满足的方程依然不变！

其中。这种方程形式的不变性在数学上被称为“协变性”或者“对称性”，在这里也可以被叫做规范对称性。

怎样描述强／弱相互作用？

现在我们已经知道了了SU(N)的规范场理论，实际上强／弱相互作用只是SU(N)规范场理论的特例而已！

从数学来看，SU(N)规范变换所对应的规范场有个，当N=2时就是弱相互作用所包含的规范场一共有3个，当N=3时就是强相互作用所包含的规范场一共有8个，它们都是SU(N)规范场的特殊情况。在1954年，杨振宁和Mills尝试用两个波函数分别刻画两个核子（质子和中子），并使用这两个波函数的规范变换产生的规范场来研究相互作用，由此他们为SU(2)规范场建立了数学理论[6]。二十世纪下半叶物理学的发展证实规范场理论是探索相互作用理论的重要研究工具，规范场理论也被称作Yang-Mills 规范场理论。

在物理学中，同量子电动力学（QED）一样，从SU(N)规范变换也可以给出拉格朗日作用量（从数学来看就是关于的泛函），为如下形式（它是在规范变换下保持不变的形式最简单的作用量）

笔者在这里再重新强调一下规相互作用的媒介子理论，因为这与规范场理论息息相关。媒介子（Meson）是参与相互作用的一些粒子，例如光子，胶子，W±玻色子，Z玻色子等。它们被认为在相互作用的过程中传递相应的相互作用，是两个费米子发生相互作用的“媒介”。媒介子都是玻色子（Boson），并且：

媒介子是相互作用场的辐射粒子，它是场能量的携带者。

四种基本相互作用都会辐射场粒子，这种在发生相互作用的过程中被辐射出来的场粒子就是媒介子。结合规范场理论我们可以发现，媒介子就是由规范场来刻画的基本粒子——在电磁相互作用中，媒介子是光子，规范场就是被用来刻画光子的场；在强相互作用中的媒介子有8种胶子，正好由SU(3)的8种规范场来刻画；而弱相互作用中的媒介子有3 种（W+，W-，Z三种玻色子），而SU(2)的规范场正好有3 种，满足了物理背景的需要。笔者在本文中已经介绍了费米子和媒介子是组建大自然各种物质的基本材料（也可参考《大自然的基本力系列（一）——四种基本相互作用简介》一文），这两种粒子的性质在 SU(N)得以统一体现在：

• 费米子是构建物质的基本粒子，包括夸克，质子，中子等，由它们组成各种微观粒子。费米子在规范场中由波函数 ψ来刻画，描述他们的运动方程是狄拉克方程；

• 玻色子在基本物质的组成中发挥了“粘合剂”的作用，它们是基本相互作用的传递者，被称为“媒介子”。波色子在规范场中由  来刻画，其场方程是规范场方程，我们将在后续文章中予以介绍。

下期预告

相信读过这篇文章，读者们已经对杨-米尔斯，这个在20世纪下半叶对物理学具有巨大影响的理论有了一个大概认识。值得一提的是，尽管杨振宁和米尔斯在1954年发表的文章[6]中对强相互作用的理解被证明是错误的，但它建立了一个正确的理论框架，并导致了70年代标准模型的建立（可参考《大自然的基本力（二）》一文）。

通过SU(2)与SU(3)的规范变换，我们也能分别为强,弱相互作用建立作用量（数学上称之为“泛函”），我们将在下一篇更加仔细地介绍强，弱相互作用的规范场理论。

除此之外，我们还将介绍规范表示不变性原理（Principle of Representation Invariance ，简称PRI，按耐不住好奇的读者们可以参考文献[1,2,5]），该原理由四川大学马天教授和美国印第安纳大学汪守宏教授在2014 年提出。简要说来，表示不变性是规范场所具有的一种内在的对称性。尽管该理论还需要得到时间的检验，但相信该原理的提出能在很大程度上拓宽我们对规范场及强，弱相互作用的理解。

参考文献

[1] Tian Ma, Shouhong Wang:  Mathematical Principles of Theoretical Physics, Science Press, August 2015, 524pp.免费下载地址：http://www.indiana.edu/~fluid/MPTP.pdf.

[2] 马天：《从数学观点看物理世界--基本粒子与统一场理论》，科学出版社，2014.

[3] Tian Ma , Shouhong Wang, Duality of Strong Interaction, EJTP, 11:31(2014), 101-124;  see also IU Institute for Scientific Computing and Applied Mathematics Preprint Series, 1301.

下载地址：http://www.indiana.edu/~fluid/paper/strongrevised.pdf

[4] Tian Ma , Shouhong Wang, Duality Theory of Weak Interaction, IU Institute for Scientific Computing and Applied Mathematics Preprint Series, 1302.

下载地址：http://www.indiana.edu/~fluid/paper/weak-revised.pdf

[5] Tian Ma , Shouhong Wang, Unified Field Theory and Principle of Representation Invariance, Applied Mathematics and Optimization,Volume 69:3 (2014), pp 359-392; arxiv:1212.4893.

[6] C. N. Yang and R. L. Mills, Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance, Phys. Rev. 96, 191a.

[7] Griffiths, D.: Introduction to Elementary Particles. Wiley-VCH, New York, 2008.

本文来源：科普最前线

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