物理学中最伟大的定理之一

一个夏日的傍晚，倘若一位游客到访上世纪20年代数学世界的中心——德国哥廷根，他很可能会从弗里德兰德大街（ Friedländer Way）的一间公寓里，听到聚会传来的喧嚣声。透过窗户，这位游客瞥见一群学者。红酒在杯中流动，空气在嗡嗡作响，谈话集中在当时的数学问题上。这位游客最终可能会听到一个女人的笑声，她便是艾米·诺特，一个富有创造力的数学天才。

1882年，诺特出生于德国埃尔兰根的一个数学家庭，是数学家Max Noether的女儿。小时候的诺特数学天赋并不明显，但却可以解决其他小孩无法解决的问题。在诺特父亲执教的埃尔兰根大学，女性是被禁止成为正式学生的，但她们可以在教授的允许下旁听。1904年，当这样的规定改变时，诺特很快入学，并在1907年获得了博士学位。

然而，作为一名女性，诺特很难得到一个有收入的学术职位。因此，在获得博士学位后，她从事了数年的无薪工作。1922年，她在个哥廷根大学收获了一个“非同寻常”的名誉教授头衔，与那些“寻常”教授头衔不同，她的教授席位是非终身的、拥有部分内部行政权限的、且没有报酬的。直到1923年，她才拿到薪水。哥廷根大学的一位著名数学家Hermann Weyl表示：“在她身边占据这样一个优越的位置，我很羞愧，她是我所知道的在各方面都比我优秀的数学家。” 

但诺特从容地接受了这些不公的对待。她所散发的人格魅力，使她深受其他人的爱戴和尊敬。10年后，诺特被纳粹领导的政府驱赶，因为她是犹太人，被怀疑持有左翼政治信仰。从此，人们再也无法在弗里德兰德大街听到数学家聚会时传来的欢声笑语。

1935年，在她前往美国宾夕法尼亚州的Bryn Mawr学院工作的两年后，她死于手术并发症，享年53岁。当诺特去世时，爱因斯坦在《纽约时报》上写道：“她是从女性接受高等教育后出现的最富创造力的数学天才。” 

○ 尽管艾米·诺特做出了非常巨大贡献，但鲜有人知。| 图片来源：The Granger Collection/Topfoto

尽管大多数人从未听说过诺特，数学家和物理学家对她却从不吝惜赞美之词。她解决了爱因斯坦新发现的引力理论——广义相对论中一个令人困扰的难题。在这个过程中，她证明了一个革命性的定理，为当时所知的物理学提供了一个统一的视角，并为此后几乎所有重大的基本发现奠定了基础。诺特的深刻洞见，彻底地改变了物理学家研究宇宙的方式。

自诺特在1918年7月26日发表她的定理以来，已经过去了整整一个世纪，但该定理的重要性却一直持续到今天。诺贝尔物理学奖得主Frank Wilczek说：“诺特定理一直是20世纪和21世纪物理学的指路明灯。”

除了诺特定理外，她还开创了一门叫做“抽象代数”的数学学科。数学家Nathan Jacobson曾说过：“艾米·诺特是本世纪最有影响力的数学家之一。抽象代数的发展是20世纪数学最瞩目的创新之一，这在很大程度上要归功于她——在发表的论文、讲座以及对同时代人的个人影响中。” 在数学上，诺特的思想是如此突出，以至于她的名字成了一个形容词。在许多数学文献中，都可以见到诺特环（Noetherian rings）、诺特群（Noetherian groups）和诺特模（Noetherian modules ）。

诺特发现了物理学中两个重要概念之间的联系：守恒定律和对称性。守恒定律——例如能量守恒定律——说的是一个特定的量必须保持恒定。无论我们如何努力，能量都不能被创造或毁灭。从计算一个球滚下山坡的速度到理解核聚变的过程，能量守恒的确定性可以帮助物理学家解决许多问题。

那么，什么是对称性呢？Weyl描述了一个思考这个概念的简单方法：如果你对一个物体进行某些操作，在这些操作完成之后，它看起来和之前是一样的，那么这个物体就是对称的。例如，球体是完全对称的：无论你朝哪个方向转动球体，它看起来都是一样的。同样地，对称性也普遍存在于物理学定律中：物理方程在时间或空间的不同位置不会改变。

诺特定理宣称，每一个这样的对称性都有一个相关的守恒定律，反之亦然。能量守恒与这样一个事实有关，那就是物理规律在昨天或今天都是一样的（时间对称性）。同样地，动量守恒与物理规律在这里或宇宙的任何地方都是一样的这一事实有关（空间对称性）。

○ 诺特定理（Noether's Theorem）联系了物理学中的两个重要概念：对称性（Symmetry）和守恒（Conservation）。| 图片来源：Scott Greenberg

到了20世纪下半叶，诺特定理成为了粒子物理学标准模型的基础。标准模型描述了微观尺度的世界，并预言了希格斯玻色子的存在。今天，物理学家在谱写新理论时，仍然依赖于诺特定理。

对称性本身就具有吸引力。一些研究报告说，人类发现对称的脸比不对称的脸更漂亮。脸的两半几乎是彼此的镜像，这一特性被称为反射对称。在艺术作品中，我们更是经常看到对称性的出现，比如马赛克、纺织品和彩色玻璃窗等。大自然也是如此：一片典型的雪花在旋转60度后，看起来是一样的。类似的旋转对称性出现在花朵、蜘蛛网和海胆中等等。

但诺特定理并不直接适用于这些熟悉的例子。因为我们在周围世界看到的对称性是不连续的，它们只适用于特定的值，例如，雪花的旋转角度为60度。然而，与诺特定理相关的对称性是连续的：无论在空间或时间上移动多远，它们都是成立的。

其中一种连续对称性被称为平移对称（translation symmetry），意思是说物理定律不随空间中的位置而变化，它在这里、哪里、任何地方都是一样的。

与每一个连续对称相关的守恒定律是物理学的基本工具。在物理课上，学生们被教导能量总是守恒的。当一个台球撞击另一个台球时，第一个台球的运动能量就会被分散：有一些传到第二个台球的运动，有一些产生声音或热量，有一些能量则留在第一个球上。但无论如何，总能量保持不变。动量也是如此。

这些规则被当作死记硬背的事实来教授，但它们的存在背后是有数学原因的。根据诺特定理，能量守恒来自于时间的平移对称性。比如火箭发射会将燃料中的化学能转化为动能和势能，由于时间的对称性，因此总能量保持不变。同样地，动量守恒源自于空间中的平移对称性。例如，在牛顿摆中，当一个球击中另一个时，另一端的球会向外飞，保持动量守恒。这是为什么？因为空间的对称性。而角动量守恒则是从旋转对称性（即物理规律在空间旋转时保持不变）中出现。一个熟悉的例子是，当一位溜冰者把她的手臂收起时，她的旋转速度会加快。这是因为总的角动量必须保持不变，而这要归功于旋转对称性。

○ 物理规律在时间、空间和旋转上都是对称的。根据诺特定理，这些对称性表明能量、动量和角动量是守恒的。| 图片来源：Scott Greenberg

在爱因斯坦的广义相对论中，没有绝对的时间和空间，守恒定律变得更难以理解。正是这种复杂性首先将诺特带到了这个话题上。

1915年，作为一个全新的引力理论，广义相对论将引力描述为物质弯曲时空的结果。除了爱因斯坦外，德国哥廷根大学的数学家希尔伯特（David Hilbert）和克莱因（Felix Klein）都沉浸在新理论的奇妙世界中。希尔伯特与爱因斯坦竞争，希望发展出这个复杂理论背后的数学。

但希尔伯特和克莱因却遇到了一个难题。他们在试图用广义相对论的框架写一个能量守恒的方程时，遇到了一个无谓的重复：就好比写”0“等于”0”一样，这个方程没有物理意义。这个发现令他们感到惊讶，在这之前并没有一个被接受的理论有这样的能量守恒定律。他们想要弄明白为什么广义相对论会有如此奇异的特征。

这个时候，他们邀请诺特加入哥廷根，以帮助他们揭开谜题。

诺特发现，这些看似奇怪的守恒定律是一种被称为“广义协变”的特定类型的理论所固有的。在这样的理论中，无论你是稳步前进还是疯狂加速，与理论相关的方程都是成立的，因为理论方程的两边都是同步变化的。其结果是，广义协变理论——包括广义相对论——总是会有这些非传统的守恒定律。这一发现被称为诺特第二定律。

在她证明第二个定理的过程中，诺特证明了她的第一个定理是关于对称性和守恒定律之间的联系。1918年7月26日，这两个结果被发表在 Göttinger Nachrichten 上。

在诺特去世后，诺特定律继续闪耀着光芒，尤其是在粒子物理学中。要梳理出基本粒子世界发生的神秘事情是非常困难的。Wilczek说：“我们必须依靠理论洞察力、美学和对称性的概念来猜测事物可能是如何运作的。” 诺特定理带来了很大的帮助。

在粒子物理学中，相关的对称性是被称为“规范对称”的隐藏类型。物理学家在电磁学中发现了这种对称性，它导致了电荷守恒。

规范对称出现在电压的定义中。电压是两点之间的电势差异。电势本身的实际值并不重要，重要的是差值。这在电势上创造了一种对称性：它的整体值可以在不影响电压的情况下改变。这一特性解释了为什么鸟站在电线上不会触电，但如果它同时接触到两根电势不同的电线，那么，悲剧将立即降临在鸟的身上。

在上个世纪60和70年代，物理学家扩展了这一概念，发现了与守恒定律相关的、其它隐藏的对称性来发展粒子物理学的标准模型。

在发现守恒定律的任何地方，物理学家都在寻找对称性，反之亦然。这个标准模型解释了大量的基本粒子以及它们之间的相互作用。许多物理学家都认为标准模型是有史以来最成功的科学理论之一，因为它能够精确地预测实验结果。然而，标准模型并不完美，还有许多问题是它无法解释的。

一直以来，物理学家的目标便是构建一个统一理论，用几个方程就可以描述万物，尽管这已经被证明是非常困难的。这些统一理论是建立在基本对称的假设上。什么样的对称性能够统一基本力中的电弱力（电磁力和弱核力的统一）和强核力，物理学家还不知道。但是寻找这样的一个“大统一理论”是物理学中一个活跃的领域。

一个好的大统一理论能够预言宇宙中的质子和中子从何而来。质子和中子这两种粒子被称为重子，重子的总数应该是守恒的。在实验上，科学家寻找的是质子是否会发生衰变。如果我们观测到质子衰变，那么我们就会知道重子数是否真的守恒，这是大统一理论的关键线索。

但是，当我们寻找超越标准模型的理论时，物理学家发现了一种隐藏的对称，称为超对称，这是许多大统一理论的核心。超对称是建立在统一两组主要的基本粒子的基础上：费米子（比如电子和夸克）和玻色子（比如光子和希格斯玻色子）。它假设所有的费米子都有一个玻色子伙伴，反之亦然。

○ 对称性是标准模型的基础。图中圆圈部分代表了标准模型中的粒子，比如光子和电子。外围则是超对称理论提出的假想粒子。| 图片来源：YouTube/Particle Fever

超对称优美地解决了许多标准模型无法解决的问题，因此大型强子对撞机（LHC）的首要任务便是寻找超对称的迹象。但到目前为止，科学家还未发现这样的粒子，尽管人们对探测寄予厚望，一些物理学家开始质疑超对称的正确性。也许对称性只能让物理学家走到这一步。

这一观点让一些物理学家左右为难。如果这不是一直以来的指导原则——即越对称越好——那么指导原则究竟是什么？

尽管这个局面令人沮丧，但对称性在物理学上仍然保持其光芒。诺特定理是发展量子引力的潜在理论的必要工具。量子引力理论把两种截然不同的理论——广义相对论和量子力学——结合在一起。诺特的工作帮助科学家理解在这样一个统一的理论中可以出现怎样的对称性。

在众多理论中，有一个候选者依赖于两种互补理论间的联系：二维表面的量子理论可以作为三维弯曲时空中量子引力理论的全息投影。这意味着，三维宇宙中包含的信息，可以编码到环绕它的二维表面上。

试想一下，一瓶汽水罐的标签上描述了罐中每个气泡的大小和位置，并列出了这些气泡是如何合并和破裂的。一个好奇的研究人员可以利用罐子表面的行为来了解罐子内部的情况，例如计算摇晃罐子时可能发生的事情。对于物理学家来说，理解一个更简单的二维理论可以帮助他们理解发生在三维物体内部更复杂的情况。（这种全息原理（holographic principle）适用的量子引力理论被称为弦理论，在弦理论中，粒子是通过振动的弦来描述的。）

○ 在一个描述粒子二维空间行为的理论可以作为三维量子引力的全息图。这就像仅仅通过阅读标签就能研究汽水罐里面的气泡一样。| 图片来源：E. OTWELL

物理学家Daniel Harlow说：”诺特定理是这个故事中非常重要的一部分。“ 二维量子理论中的对称性出现在不同背景下的三维量子引力理论中。通过一种令人满意的转换，诺特第一、第二定理被连接起来了：描述二维空间的第一个定理，与描述三维空间的第二个定理有着同样的表述。这就好比有两个句子，一句是中文，一句是英文，在翻译的时候意识到它们用不同的方式表达了同一件事。

是的，诺特的工作彻底改变了我们理解宇宙的方式。当你下次阅读到关于宇宙暴胀理论、超对称粒子、或者一切跟万有理论相关的进展时，都应该想到艾米·诺特，她的定理是所有这些理论的核心概念。

徐一鸿在《可畏的对称》一书中所写道：

“能量、动量和角动量守恒是在物理学中最先学习到的定律。它们支配物理宇宙中一切物体的运动，从星系的碰撞到原子中电子的旋转。曾有很多年，我没有去问这些守恒定律从何而来；它们好像如此基础，不需要解释了。后来我听到诺特的定理，印象非常深刻。这些基础的守恒定律原来是基于物理在昨天、今天、明天，这里、哪里、任何地方，东、西、南、北是完全一样的假设，就像爱因斯坦所说，这个启示对我而言完全是属于精神范畴的。

在我成为物理学家的这些年中，这一启示属于最难忘怀的。我一直为人类理智理解宇宙的能力所触动，但遇到像诺特这样真实的远见也不是经常的。这样的远见使我快乐、敬畏而又感动，因为作为绝对真理，它们即深刻又简单。但另一方面，作为物理学家，我并不认为原子核和晶体在这样或那样条件下的性质本身多么有趣。在对宇宙的唯象性的感知中，这一代人认为有趣的，下一代人兴趣就小了。这一代基础物理学家已经认为，二十年前粒子物理的奇妙发现是，用爱因斯坦的话说，‘这样或那样的现象’。但对称性和守恒定律之间的联系却是永存的。”

参考链接：

http://www.perimeterinstitute.ca/videos/emmy-noether-her-life-work-and-influence

https://www.sciencenews.org/article/emmy-noether-theorem-legacy-physics-math

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1355219801000338

https://arxiv.org/pdf/physics/9807044.pdf

https://arxiv.org/abs/hep-th/9411110

A.Zee, 《Fearful Symmetry:The Search for Beauty in Modern Physics》