拓扑物理学——纯数学与物理的再连结

中国结（照片来源：维基百科）

16 世纪时，现代科学之父伽利略认为可以用简单的数学语言来描述复杂的自然界现象，17 世纪中叶牛顿发明了微积分来计算天体运行轨道，接下来的数个世纪，数学与物理研究领域并没有很大的区隔。拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace），勒让德（Adrien-Marie Legendre），汉米尔顿（William Hamilton），高斯，傅立叶（Joseph Fourier）等名家都号称自然哲学家，也就是物理学家、天文学家、也是数学家。

20 世纪的前半叶，我们更是见证了理论物理学家借助数学所提供工具和基本架构来达成了革命性的物理进展，数学内容也因这些新的物理学思想启发而更为丰富。19 世纪高斯和黎曼（Georg Riemann）所建构的黎曼几何是爱因斯坦广义相对论的工具和语言。而广义相对论更将黎曼几何推上了几何研究的中心主题。量子力学理论的初期发展奠基于对希尔伯特空间的了解，继而影响了数学泛函分析领域的发展。

针对 20 世纪前半叶广义相对论及量子论二大革命性理论的发展，宇宙学家兼科普作家伽莫夫（George Gamow）在 1961 年曾经评论说：“只有数论及拓扑学没有物理应用。”

二次世界大战前后期，数学社群在形式化及逻辑严格化的诉求下，数学的论证愈来愈抹去直觉性的描述，往往造成非专业人士很难一窥数学研究最新进展的全貌。而同时期当道的物理研究着眼于发展量子力学理论和应用，粒子物理学则致力于实验的探索与物理模型的建立，这些大多不需要太深刻的数学工具。

著名的数学物理学家戴森（Freeman Dyson）追溯了当时这两个学科之间的紧张关系，曾在 1972 年宣告：“国王（物理）与皇后（数学）离婚了！”

伽莫夫和戴森当年的评论对于数世纪来一直辩证发展的过程或许正确，但也都不够全面。譬如正是考量拓扑特性，狄拉克（Paul Dirac）在 1931 年才能得出麦克斯韦方程磁单极（magnetic monopole）解的存在性。到了 1970 至 80 年代之后，量子场论（quantum filed theory）的瞬子论（instanton theory）、非交换规范理论（nonabelian gauge theory）与广义相对论里的正质量定理（positive mass theorem）都是由许多数学家和物理学家合作，运用了拓扑与几何理论才建立证明的。量子物理学中的方程解，更让拓扑学家发现了四维流形中令人惊讶和奇特的性质。

2016 年诺贝尔物理奖得主（从左至右）D. Thouless, D. Haldane, M. Kosterlitz（照片来源：nobelprize.org）

自 1980 年代起，几何与拓扑的论述给予当时刚发现的量子霍尔效应一种拓扑诠释，并发现一类被称为拓扑绝缘体（topological insulators）的材料。绍里斯（David Thouless），赫尔丹（Duncan Haldane）和科斯特利兹（Michael Kosterlitz）更因阐明量子霍尔效应的拓扑本质而获得 2016 年诺贝尔物理奖 【见《数理人文》第 11 期「数理简讯」报导】。

1990 年菲尔兹奖得主数学物理学家威腾（Edward Witten）曾经评论说：“这项发现震撼物理学界 …… 模式改变了。”正如威腾的量子场论带给纯数学许多崭新突破，现在拓扑学似乎正为影响尚不可知的大自然解释提供了大量的可能性。1966 年菲尔兹奖得主几何学家阿提雅（Michael Atiyah）现在也开始研究拓扑相变（topological phase transition）的数学理论，他说：“这是两门学科之间极为美妙的想法的互动交流。”

拓扑结构与拓扑相变为物理学提供了独特的见解，例如有些绝缘体可以沿表面的单原子层潜行导电。但是一直到近几年，研究人员才意识到这种现象可能比任何人能想像的更为普遍和奇怪。如今物理学家纷纷涌向这个新领域，名为拓扑物理学的领域正呈现爆炸性的发展，光是《自然》（Nature）期刊家族，每个月就至少有 10 数篇拓扑物理学的文章发表。

尽管拓扑绝缘体本身就很有吸引力，拓扑物理学的真正回报则是对于物质本身的深刻理解。这些发现标志了搜索物质拓扑结构更广泛的开始，而且这种结构将会是肥沃的研究与应用土壤。部分原因是：有别于量子数根植于对称性，拓扑量子数对于这种缺陷相当不敏感。这种拓扑阻碍（obstruction）提供了各种应用的可能性。例如在传统上对无序非常敏感的半导体光感测器与光纤，光学元件往往依赖于抛光表面的能力。如果能够发明利用拓扑状态的光子元件（photonic devices），不仅使制造和改进元件更容易，也可进行更新颖的设计。类似的原理也可以应用于古典力学系统。例如像声子（phonon）这种力学模态是玻色态（bosonic），拓扑模态也可类似产生，其应用是提高长距离传输的效率，利用这些想法控制声波，可以找到实际的应用。

对于电子系统，实验已发现并确认魏尔费米子（Weyl fermion）的拓扑特征。更重要的是如果能开发拓扑超导体，应该可以找到马约拉纳费米子（Majorana fermion，其反粒子为自己），这将为理论上的拓扑量子电脑提供平台。物理学家和材料学家希望这些拓扑材料能够最终应用到速度更快、效率更高的电脑晶片，甚至是稀奇的量子电脑。

量子电脑的构想已经有近 50 年的历史了，通过进一步将拓扑绝缘体与超导体相结合，可以无阻地传导电力，研究人员可以构建一个实用的量子电脑。这样的技术将可使用量子计算，它提供了方法解决传统电脑无法克服的问题。量子计算是利用量子力学进行计算。不同于传统电脑的二进制位元（bit），量子电脑使用可叠加（superposition）态的量子位元（qubit）。如果把传统电脑比喻成乐器，量子电脑就像交响乐团，一次运算可以处理多种状况，因此一个 40 量子位元的量子电脑，就能在很短时间内解开 1024 位元电脑花上数十年解决的问题。截至目前，实体量子电脑的发展还处于起步阶段，但是实验和理论研究仍在继续。全球学术研究团体和许多主要的科技公司都蜂拥致力于量子计算的实现。2017 年 6 月号的《科学美国人》（Scientific American）将量子计算选为年度 10 大科学进展。

拓扑量子电脑在理论上运用称为任意子（anyons）的二维准粒子（quasiparticles），它的世界线（world line）相互纠缠（entanglement），形成三维时空（一个时间加上两个空间维度）的辫带（braids）。这些辫带组成电脑的逻辑门（logic gate）。基于量子辫带的量子电脑比起使用量子粒子，好处是前者更加稳定。通常小干扰的累积可能导致量子态的退相干，并在计算中导致误差，但这种小扰动不会改变辫带的拓扑性质。

1986 年菲尔兹奖得主 M. Freedman（照片来源：Microsoft.com）

有别于一般量子电脑运用较成熟的硬体技术来制造量子位元，微软（Microsoft）在 2005 年投入的大量的资金，由 1986 年菲尔兹奖得主、低维拓扑学家弗利德曼（Michael Freedman），带领以 35-40 位数学家和电脑科学家所组成的团队，研发量子辫带的关键理论，去年更聘用了数名明星级的实验物理学家在世界各地设立微软实验室，目的是证明任何人都可以进行量子编码并做简单的量子计算。

语言的障壁让数学家不易和其他领域的科学家分享想法，但拓扑物理学与其应用的火红掘起，让这些苦心孤诣的努力显得分外有价值。

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